Diversos

Teorema fundamental da proporcionalidade
Sadao Massago
Maio de 2010 a Fevereiro de 2014

Sumário
1 Preliminares

1

2 Teorema Fundamental da proporcionalidade

1

Referências Bibliográcas

6

Neste texto, o Teorema fundamental da proporcionalidade será demonstrado.

1

Preliminares

Uma das propriedades dos números reais a ser utilizado é

Propriedade 1.1 (Arquimediana dos números reais). Dado um número real, existe um número natural maior que ele.
A propriedade arquimediana é equivalente a dizer que,para todo número real
1
n tal que n < ε.
Também vamos precisar do teorema de Tales.

ε > 0,

existe

um número natural

Teorema 1.2

(Tales)

.

Se três retas paralelas determina (dois) segmentos congruentes a uma

reta concorrente, então determina (dois) segmentos congruentes em qualquer das retas concorrentes.

Signicado.

r1 , r2 e r3 três retas paralelas entre si. Suponha que s seja concorrentes
A1 , A2 e A3 são pontos de intersecções de s com r1 , r2 e r3 respectivamente de modo que A1 A2 = A2 A3 . Neste caso, para qualquer reta t cruzando r1 , r2 e r3 em B1 , B2 e B3 respectivamente, tem-se que B1 B2 = B2 B3 .
Sejam

a estas retas e

2

Teorema Fundamental da proporcionalidade

Uma consequência do Teorema de Tales é

Proposição 2.1

.

(Corolário do Teorema de Tales)

Se um conjunto das retas paralelas deter-

minam segmentos congruentes numa reta concorrente, então determina segmentos congruentes em qualquer das retas concorrentes.

Signicado.

ri com i = 0, . . . , n as retas paralelas. Se s1 é uma reta concorrente a estas na qual os pontos Ai determinado como intersecção com ri são igualmente espaçados, então para toda reta concorrente s2 , os pontos Bi determinados como intersecção com ri também são
Sejam

igualmente espaçados.

1

Demonstração. Consideremos as retas paralelas r0 , r1 , . . . , rn que cortam a reta s1 nos pontos
Pi respectivamente, determinando