diverso

Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸ca
˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro

1a Avalia¸ c˜ ao a Distˆ ancia de M´ etodos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2012
Resolu¸
c˜ ao Quest˜ ao 1: (2,0pts) Considere as fun¸c˜oes reais f e g cujas lei de forma¸c˜ ao s˜ ao f (x) = x+1 g(x) = x−2

2x+1 x−1 e

a) Determine (g ◦ f )(x).
b) Mostre que (f ◦ g)(x) = x.
Solu¸
c˜ ao: a) (Se acertou as contas vale 1pt) f (x) + 1
=
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = f (x) − 2

2x+1 x−1 2x+1 x−1 +1
−2

= x.

b) (Se acertou as contas vale 1pt)
2g(x) + 1
(f ◦ g)(x) = f (g(x)) =
=
g(x) − 1

2(x+1) x−2 + 1 x+1 x−2 − 1

= x.

Quest˜ ao 2: (2,0pts) Determine o “maior” conjunto A tal que Im(f ) ⊂ D(g); em seguida, construa a composta h(x) = (g ◦ f )(x).
√
A) g(x) = x − 1 e f : A → R, f (x) = 2x+1 x−3 ;
√
B) g(x) = x2 − 1 e f : A → R, f (x) = x2 − 2.
Solu¸
c˜ ao: Cada um dos itens vale 1pt. O ponto de cada item deve ser dado sendo 0, 3pt se acertar o
D(g) e 0, 5pt se acertar o conjunto A e 0, 2pt se acertar h(x). A) Precisamos determinar o D(g), mas isto
√
significa encontrar os x ∈ R tais que fa¸ca sentido calcular g(x) = x − 1, ou seja, x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.
Logo
D(g) = {x ∈ R : x ≥ 1} .
Para determinar o conjunto A considere
2x + 1
2x + 1 x+4 ≥1⇔
−1=
≥ 0. x−3 x−3 x−3 Fazendo a an´ alise do sinal de

x+4 x−3 obtemos

1

x+4 −

−4

+

3

+

x−3 −

−4

−

3

+

3

+

x+4 x−3 +

−4

−

Portanto, A = {x ∈ R : x ≤ −4 ou x > 3}.
E por fim, h(x) = (g ◦ f )(x) =

x+4 x−3 .

f (x) − 1 =

B) Para determinar o dom´ınio de g(x), lembre que x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) ´e uma par´ abola com boca voltada para cima. As ra´ızes desta par´ abola s˜ ao x = −1 e x = 1, logo
D(g) = {x ∈ R : x ≤ −1 ou x ≥ 1} .
Para determinar o conjunto A precisamos determinar os x ∈ R tais que: 1a x2