Distribuições Probabilísticas

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1. Distribuição de Borel

1.1. Definição

Uma variável aleatória discreta X é dita seguir a distribuição de Borel se sua função massa de probabilidade é dada por:
ሺ‫ߣݔ‬ሻ௫ିଵ ିఒ௫
݁ ,
‫… ,3,2,1 = ݔ‬
ܲሺܺ = ‫ݔ‬ሻ = ቐ
‫!ݔ‬
0, ܿܽ‫ݎݐ݊݋ܿ ݋ݏ‬á‫ ݋݅ݎ‬

(1)

onde 0 < ߣ < 1. A distribuição de probabilidade quantificada conforme a equação (1) foi primeiramente obtida por Borel em 1942.

Suponha que uma fila é inicializada apenas com um único membro e que tenha uma intensidade de tráfego sob uma distribuição de Poisson e um tempo constante de serviço. Nestas condições,
Haight e Breuer (1960) descobriram que a distribuição de Borel em (1) representa a probabilidade que exatamente x membros da fila sejam servidos antes que a fila acabe [1].
A média e a variância da distribuição em (1) são calculadas a partir de: μ = ሺ1 − ߣሻିଵ

ߪ² = ߣሺ1 − ߣሻିଷ

(2)

O modelo de Borel satisfaz as propriedades de sub-dispersão e sobre-dispersão1. Haverá sobre-

dispersão caso ߣ satisfaça a inequalidade 3ൗ2 − √5ൗ2 < ߣ < 1. Por outro lado, o modelo será

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Em Estatística, o fenômeno de sobre-dispersão ocorre quando há a presença de uma variabilidade maior
(dispersão estatística) no conjunto de dados do que seria esperado em uma variabilidade de um modelo estatístico simples. Normalmente, compara-se o resultado observado com o teórico, ou seja, caso, por exemplo, a variância observada seja maior que a teórica, diz-se que o fenômeno de sobre-dispersão ocorreu. O mesmo raciocínio pode ser feito para o efeito de sub-dispersão.

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sub-disperso quando ߣ < 3ൗ2 − √5ൗ2 . A média e a variância são ambas iguais quando

ߣ = 3ൗ2 − √5ൗ2 [4].
1.2. Funções Geradoras

A distribuição de Borel pode ser gerada a partir de uma expansão de Langrange com o parâmetro ߣ (0 < ߣ < 1ሻ sob a transformação ߣ = ‫ ݁ݑ‬ఒ . Isto leva à seguinte equação:
ஶ

‫ ݑ‬௫ ߲ ௫ିଵ ఒ௫
ߣ = ෍ ቈ൬ ൰
݁ ቉
‫ߣ߲ !ݔ‬
ఒୀ଴
௫ୀଵ

a qual gera:

ஶ

ߣ=෍

௫ୀଵ