Distancia entre reta e plano e entre retas

CAPÍTULO IV - POSIÇÕES RELATIVAS
DE UMA RETA E UM PLANO
E
DE DUAS RETAS
4.1 Posições relativas de uma reta e um plano r As posições de uma reta r : X = R + t v r , t ∈ IR e um plano π são: r vr

R
a) r paralela a π
(r // π )

r r nπ

π rr r // π ⇔ v r ⋅ n π = 0 e R ∉ π r nπ

R

r vr r

b) r contida em π (r ⊂ π )

π

rr r ⊂ π ⇔ vr ⋅ n π = 0 e R ∈ π

c) r e π concorrentes

r nπ r vr P

(r ∩ π = {P} ) π rr r ∩ π = {P} ⇔ v r ⋅ n π ≠ 0

r

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Caso particular: r vr

v nπ π r Exemplos:
1. Determine a interseção da reta r com o plano π, nos seguintes casos:
a) r : X = (1,6,2) + t (1,1,1) ; t ∈ IR π: x − z − 3 = 0
b) r : x − 1 = y − 2 = 2 (z − 1) π : X = h(6,2,1) + t (1,2,1); t, h ∈ IR
x = t

c) r :  y = −3 + 3 t ; t ∈ IR
z = −t

π : x + y + 2z − 1 = 0

Solução: r r

a) v r ⋅ n π = (1,1,1) ⋅ (1,0,−1) = 0, logo, r ∩ π = r ou r ∩ π = φ .
Como R(1,6,2) é um ponto de r, verificamos que R ∉ π . Logo r ∩ π = φ . r  1 r
b) Sendo v r = 1,1,  e n π = (6,2,1) × (1,2,1) = (0,−5,10), temos que
 2 rr v r ⋅ n π = 0 . Logo, r ∩ π = r ou r ∩ π = φ . Como R(1,2,1) é um ponto de r, verificamos que R ∈ π . Logo r ⊂ π e consequentemente r ∩ π = r.

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r

r

b) De v r ⋅ n π = (1,3,−1) ⋅ (1,1,2) = 2 ≠ 0 concluímos que r e π são concorrentes. Seja r ∩ π = {P} = {( a, b, c)} . Temos então:

(1) a + b + 2c − 1 = 0.

a = t

(2) b = −3 + 3 t , para algum escalar t .
c = − t


De (1) e (2) obtemos t = 2 e P( 2,3,−2) .

2. Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(1,0,−2) e é paralela aos planos α : 2x − y + 2 = 0 e β : x + z − 3 = 0.

Solução:

r r r r r r Como r //α e r // β, temos v r ⊥ n α e v r ⊥ n β . Sendo n α e n β LI, r r r temos que vr // n α × n β . Assim podemos considerar r r r vr = n α × n β = (1,01) × (2,−1,0) = (1,2,−1) .
Daí uma equação vetorial da reta r é: r : X = (1,0, −2) + t (1,2, −1); t ∈ IR

4.2