DissertMestradoRaquelMariaAlmeidaFaria2013

Universidade dos Açores
Departamento de Matemática

Mestrado em Matemática para Professores

Interpretação Geométrica dos Problemas Clássicos de Desargues, Fagnano e Malfatti

Raquel Maria Almeida Faria

Ponta Delgada
Abril de 2013

Universidade dos Açores
Departamento de Matemática

Mestrado em Matemática para Professores

Interpretação Geométrica dos Problemas Clássicos de Desargues, Fagnano e Malfatti

Raquel Maria Almeida Faria

Dissertação apresentada para cumprimento dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Matemática para Professores, sob a orientação da Professora Doutora Helena de Fátima Sousa
Melo e do Professor Doutor João Manuel Gonçalves Cabral, do Departamento de Matemática da
Universidade dos Açores.

Ponta Delgada
Abril de 2013

Conteúdo
Conteúdo

i

Lista de Figuras

iii

Lista de Notações

vii

Resumo

ix

Abstract

xi

Agradecimentos

xiii

1 Introdução

1

2 Geometrias não Euclidianas
2.1 Geometria Projetiva . . . . . . . . . . . .
2.1.1 De…nições e Notações . . . . . . .
2.1.2 Perspetividade e Projetividade . .
2.1.3 O Plano Projetivo . . . . . . . . .
2.1.4 Princípio da Dualidade . . . . . .
2.1.5 Razão Cruzada . . . . . . . . . . .
2.1.6 Pontos Harmónicos Conjugados . .
2.2 Geometria Hiperbólica . . . . . . . . . . .
2.2.1 O Plano Hiperbólico . . . . . . . .
2.2.2 Imersões Isométricas . . . . . . . .
2.2.3 A Métrica Hiperbólica . . . . . . .
2.2.4 Geodésicas . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 O Grupo P SL (2; R) . . . . . . . .
2.2.6 O Disco Unitário . . . . . . . . . .
2.3 Geometria Inversiva . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Inversão . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Alguns Resultados da Inversão . .
2.3.3 Inversão e Sistema de Coordenadas

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3 Problema de Desargues
3.1 Desargues: Um Matemático Incompreendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Desargues e a Geometria Projetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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