Dinâmica

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Um cilindro possui o eixo principal vertical e raio R, girando no interior do cilindro, num plano horizontal, há uma pequena esfera. Sabendo-se que o coeficiente de atrito entre a esfera e a parede do cilindro é µ e a aceleração local da gravidade é g, calcule a menor velocidade tangencial da partícula para que ela faça a curva sem cair.

Dados do problema
•
•

raio do cilindro: coeficiente de atrito:

R;
µ.

Esquema do problema

figura 1

r
As forças que agem na esfera são a força peso ( P ) que aponta para baixo, a força de r atrito entre a esfera e a parede do cilindro ( F A t ) que impede que a esfera caia, a força normal r ( FN ) que é a reação da parede do cilindro na esfera.
Solução
Pelo esquema da figura 1-B podemos aplicara a 2.ª Lei de Newton

r r F = m.a
Na direção vertical não há movimento, portanto a resultante das forças peso e de atrito é nula, em módulo obtemos

FAt − P = 0
FA t = P
Sendo a força de atrito proporcional a reação normal, temos

µ . FN = m . g
Na direção horizontal a 2.ª Lei de Newton é escrita como r r
FC P = m .a C P a força normal é a única força nesta direção, portanto, FN = F CP , então

1

(I)

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FN = m .a CP

(II)

A aceleração centrípeta é dada por

a CP =

v2
R

(III)

substituindo (III) em (II) ficamos com

FN = m .

v2
R

substituindo (IV) em (I) temos a velocidade mínima para que a esfera gire sem cair v2 = m .g
R
v2
µ.
=g
R
g .R v2 = µ µ.m.

v mín =

2

Rg µ (IV)