Dinâmica da rotação

Páginas: 7 (1591 palavras) Publicado: 9 de novembro de 2012
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Primeira Parte: Teoria
Cinemática da Rotação
Neste item será estudado o movimento circular, onde uma partícula ou corpo descreve uma trajetória circular em torno de uma origem .

Velocidade Angular
A velocidade angular média ̅ é definida como a variação do espaço angular um intervalo de tempo , como indicado abaixo: ̅ Já a velocidade angular instantânea em um instante tender a 0: éobtida quando fazemos em

Aceleração Angular
Analogamente, temos a aceleração angular média ̅ definida como a variação da velocidade angular instantânea em um intervalo de tempo instantânea quando tende a 0: , e a aceleração angular

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̅

Movimento Rotacional Uniformemente Acelerado (MRUA)
Das equações obtidas anteriormente, podemos encontrar expressões para definir a posição e avelocidade angular de uma partícula em movimento rotacional uniformemente acelerado, análogas às encontradas na cinemática para descrever um movimento retilíneo uniformemente variado. Essas expressões estão indicadas abaixo:

Relação Entre Velocidade e Aceleração Lineares e Angulares
Sabe-se que:

Assim, deduzimos que:

Energia Cinética da Rotação
Um corpo rígido realizando um movimento circularpossui velocidade, portanto possui energia cinética. Assim, podemos definir a energia em um corpo em função da sua velocidade angular e uma grandeza chamada momento de inércia, que depende da massa do corpo e de como ela está distribuída.

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Vamos considerar o corpo como sendo constituído de partículas infinitesimais. Cada uma dessas partículas possui uma energia cinética quantificada pelaequação abaixo:

A energia total do corpo será igual à soma das energias cinéticas de todas as partículas que compõem esse corpo: ∑ ∑ . Assim,

O termo entre parênteses é chamado momento de inércia do corpo reescrevemos a equação como sendo:

Momento de Inércia
Para o cálculo do momento de inércia de um corpo é preciso usar os recursos do cálculo diferencial e integral. Consideramos um corporígido dividido em infinitas partes de massa , cada uma localizada a uma distância do eixo de rotação. Assim, buscamos o

resultado da expressão abaixo: ∑ De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, podemos escrever: ∫ Em se tratando de um corpo homogêneo, temos a expressão:

Por fim, reescrevemos a expressão do momento de inércia: ∫ Uma vez conhecido o momento de inércia de um corpo emtorno de um eixo qualquer que passa pelo seu centro de massa, podemos determinar o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo ao primeiro, através do Teorema de Steiner, segundo a expressão abaixo:

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Trabalho na Rotação
Para obtermos a expressão que quantifica o trabalho realizado por uma força em um corpo, é necessário o conhecimento do torque produzido por uma força em ummovimento circular.

O torque produzido por uma força é expresso na equação abaixo:

Lembrando que:

Temos:

Fazemos então o somatório dos dois lados da expressão, para obtermos o torque total que o corpo sofre: A expressão acima é conhecida como “forma angular da 2ª Lei de Newton”. Para o cálculo do trabalho realizado por uma força em um corpo, partimos da seguinte expressão:

Sabe-seque:

Assim:

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O trabalho total realizado durante o deslocamento de ∫

até

é:

Se o torque é constante durante o deslocamento angular finito, então:

Como o trabalho é uma grandeza que define a variação da energia de um corpo, podemos também expressá-lo da seguinte forma:

Potência na Rotação
Dividimos agora a expressão do diferencial do trabalho por um intervalo :

Como aexpressão angular , então:

é a taxa de trabalho, ou potência , e

é a velocidade

Momento Angular
Para uma partícula de massa constante , velocidade , momento ⃗ ⃗, e um vetor

posição ⃗ relativo à origem , definimos o momento angular ⃗⃗ como: ⃗⃗ ⃗ ⃗ O valor de ⃗⃗ depende da escolha da origem , já que envolve o vetor posição relativo a .

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Na figura a partícula se move no plano-xy;...
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