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Preliminares: Conjuntos e Fun¸co˜es

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MODULO
1 - AULA 1

Aula 1 – Preliminares: Conjuntos e Fun¸co
˜es
Metas da aula: Fazer uma breve recorda¸ca˜o dos fatos b´asicos sobre conjuntos e fun¸co˜es. Apresentar uma introdu¸ca˜o a` pr´atica de demonstra¸ca˜o de proposi¸co˜es matem´aticas, ponto central em todo o curso.

Objetivos: Ao final desta aula, vocˆe dever´a ser capaz de:
• Saber o significado matem´atico e o uso dos principais s´ımbolos e das opera¸co˜es da teoria elementar dos conjuntos;
• Saber os conceitos b´asicos relacionados a` no¸ca˜o de fun¸ca˜o entre dois conjuntos bem como as opera¸co˜es de composi¸ca˜o, invers˜ao e restri¸ca˜o;
• Demonstrar proposi¸co˜es simples envolvendo conjuntos e fun¸co˜es.

Conjuntos
Admitimos como familiares o conceito (intuitivo) de conjunto, significando cole¸ca˜o, fam´ılia etc., assim como as opera¸co˜es elementares entre conjuntos, nomeadamente, a uni˜ao A∪B, a interse¸ca˜o A∩B e a diferen¸ca, A\B, entre dois conjuntos quaisquer A e B. O conjunto A \ B tamb´em ´e chamado o complementar de B em rela¸ca˜o a A. Lembremos as nota¸co˜es usuais: x ∈ A,

significa que x ´e um elemento ou membro de A,

e
A ⊂ B,

significa que todo elemento do conjunto A
´e tamb´em um elemento do conjunto B,

ou seja, que o conjunto A ´e um subconjunto do conjunto B. A nega¸ca˜o de x ∈ A se denota por x ∈
/ A, que se lˆe x n˜ao pertence a A ou x n˜ao ´e um elemento (ou membro) de A. Outrossim, ´e importante ressaltar o significado da igualdade entre dois conjuntos:
A = B,

significa A ⊂ B e B ⊂ A,

isto ´e, A e B possuem exatamente os mesmos elementos.
Assim, para provarmos que o conjunto A est´a contido no conjunto B, isto ´e, A ⊂ B, devemos provar que para todo x, se x ∈ A, ent˜ao x ∈ B. Por outro lado, para provarmos que A = B, devemos provar que para todo x, se
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CEDERJ

Preliminares: Conjuntos e Fun¸co˜es

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ANALISE
REAL x ∈ A, ent˜ao x ∈ B e, reciprocamente, se x ∈ B ent˜ao x ∈ A, ou