Determinantes

2. DETERMINANTES É a resolução de matrizes quadradas associadas a um sistema de equações lineares.

2.1 Determinante de matriz quadrada de 1ª ordem O determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem é sempre igual a diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal, pelo produto dos elementos da diagonal secundária.

[pic]

Exemplo : Calcule o determinante da matriz de ordem 2.

a) [pic]

b) [pic]

2.2 Determinante de matriz quadrada de ordem 3.

2.2.1 Regra de Sarrus

O determinante de uma matriz quadrada de 3ª ordem é obtido pela regra de Sarrus. A regra de Sarrus: Dada uma matriz quadrada A, de ordem 3, para calcularmos o seu determinante, basta repetirmos ao lado da 3ª coluna as duas primeiras colunas de A e adicionarmos o produto da diagonal principal com as suas paralelas e subtrairmos o produto da secundária e de suas paralelas. [pic]

Exemplo: Determine o determinante da matriz de ordem 3.
a) [pic]
a) [pic]

2.3 Regra de Laplace Para definir o determinante de matrizes quadradas [pic] para [pic], introduzimos o conceito de menor complementar e cofator.
Definição: Dada uma matriz [pic] o menor complementar do elemento aij, denotado [pic], é a submatriz (n – 1) x ( n – 1) obtida de A eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.

Exemplo:
Se [pic], então

Definição: Dada uma matriz [pic] o cofator do elemento aij, denotado por Aij, é o número

[pic] Exemplo:

Se [pic] então

2.3.1 Regra
Definição: Seja [pic], o determinante de A, denotado det A, é o número definido por
[pic]

Exemplo:
1) Calcule o determinante de ordem igual a 3, ou de ordem superior a 3 , utilizando o método de cofatores.
a) [pic]

b) [pic] Igualmente, se pode calcular um determinante de ordem n = 5, 6, 7, ..., 10,..., 20 etc. desenvolvendo-o por uma linha ou por uma coluna, pelo mesmo processo que se calcula um determinante de 4ª ordem. Entretanto esse processo, por envolver um