Determinantes

Determinantes

Introdução

O objetivo inicial das determinantes era para a resolução de sistemas lineares de equações nos meados do século XVII. Hoje em dia, são utilizadas para sintetizar certas expressões matemáticas complicadas. (Iezzy, 2004)
Definição de determinante (n ≤ 3)
Considerando o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos de determinante da matriz M ( e indicamos por det M) o número que podemos obter com os elementos M da seguinte forma:
1º) Se M é de ordem n = 1, então det M é o único elemento de M. Exemplo: Podemos também indicar o determinante de M pelo símbolo , isto é, colocando uma barra vertical de cada lado de M.
2º) Se M é de ordem n = 2, o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

Exemplo:

3º) Se M é de ordem n = 3, isto é,
, definimos: Podemos memorizar esta definição da seguinte forma:
a) Repetimos, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas.
b) Os termos precedidos pelo sinal (+) são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na diagonal principal: .
c) Os termos precedidos pelo sinal (-) são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na direção da diagonal secundárias:
d)

Essa regra é conhecida como regra de Sarrus para cálculo de determinantes de ordem 3.

Exemplo:

Outra forma de memorizar a definição é indicada logo abaixo: os termos precedidos pelo sinal (+) são obtidos pela trajetória:

Os termos precedidos pelo sinal (-) são obtidos pela trajetória:

Exercícios
1. Calcule os determinantes:
a) b) c)
2. Calcule os determinantes:
a) b)
c)
3. Calcule os determinantes:
a) b)
4) Sendo uma matriz quadrada de ordem 2 e , qual é o determinante da matriz A?
5) Calcule os determinantes pela regra de Sarrus:
a) b) c)
6) Calcule o valor do determinante .
7) Descubra os possíveis valores