Desafio Etapa 2014 2

33º Desafio para o 9º Ano _ 2ª Edição
2014
RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES
Obs.: esta resolução é da Turma A. As questões da Turma B são as mesmas, em ordem diferente.

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MATEMÁTICA
Importante:
Nos testes de 01 a 06, além de indicar a alternativa de sua escolha na folha de respostas, você deve escrever a justificativa (os cálculos, etc.) no espaço reservado a ela.
01. Se as soluções da equação 2 x2 − 30 x + k = 0, k ∈ Z, são números primos distintos positivos, então o valor de k é:
a) 13
b) 16
c) 26
d) 46
e) 52
Resposta:
−(−30)
= 15. Como as soluções são números primos
2
distintos temos que a soma de dois primos distintos é igual a 15, ou seja, um número ímpar. Isso só é possível se um deles for um número par, e o único número primo par é o 2. Logo, uma das soluções é 2 e a outra é
15 − 2 = 13. k O produto das soluções é igual a
= 2 ⋅ 13 ⇔ k = 52.
2
Temos que a soma das soluções da equação é igual a

02. Na figura ao lado, o quadrado ABCD está inscrito na circunferência e AB é um lado do triângulo equilátero ABE. Se a área do triângulo ABE é 4 3 cm2 , então a área da circunferência, em cm2 , é:
a) 4π
b) 6π
c) 8π
d) 10π
e) 12π

C

D
E

A

B

Resposta:
Observe que o lado l do quadrado é igual a um dos lados do triângulo equilátero de área 4 3 cm 2 , logo l2 3
= 4 3 ⇔ l2 = 16 ⇔ l = 4.
4
4 2
A diagonal do quadrado é um diâmetro da circunferência, logo seu raio é
= 2 2 , portanto sua área é
2
(2 2 )2 ⋅ π = 8π.

2

turma A

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ETAPA

03. Carlos fez uma prova composta por 10 testes com 5 alternativas cada um (a, b, c, d, e). Quantos gabaritos diferentes Carlos pode marcar em sua folha de respostas de maneira que haja pelo menos uma questão cuja alternativa assinalada seja a e que não haja questões em branco?
a) 510
b) (510 + 220 ) 2

c) 510 ⋅ 220

e) (55 − 210 ) ⋅ (55 + 210 )

d) 55 − 220

Resposta:
Como cada teste possui 5 alternativas, então o número de gabaritos possíveis no total é igual a 510 . Já o número de gabaritos que não possuem questões assinaladas com a