derivadas

As derivadas parciais nos fornecem as taxas de variação de uma função em direções paralelas aos eixos coordenados x, y e z. No entanto, cabe-nos perguntar se podemos calcular as taxas de variação em relação a uma direção qualquer. A resposta é afirmativa e, para isso, utilizamos as derivadas direcionais.

Suponha que queiramos calcular a taxa de variação instantânea de f(x, y) em relação à distância em um certo ponto (x0, y0). Há uma infinidade de direções ns quais um ponto pode se mover em um plano. Portanto, vamos utilizar um vetor unitário para descrever uma direção específica nque comece em (x0, y0).

Vamos considerar o vetor unitário u = u1i + u2j que comece em (x0, y0) e aponte na direção que queremos. Esse vetor determina uma reta que pode ser expressa como x = x0 +su1 ; y = y0 +su2, onde s é o parâmetro.

Se s é igual a 0, o ponto (x, y) da reta está no ponto de referência (x0, y0) e, à medida que s cresce, esse ponto se movimenta pela reta na direção e no sentido de u. Logo, a derivada dz/ds em s = 0 nos fornece a taxa de variação instantânea de f(x, y) em relação à distância de (x0, y0) na direção e sentido do vetor u.

Portanto, a derivada direcional de f na direção e sentido de u pode ser calcuçada através da fórmula Duf (x0, y0) = d[f(x0 +su1, y0 +su2)]/ds quando s=0.

Além dessa definição formal, existe outro método, mais fácil, para calcularmos a derivada direcional de uma função f(x, y) na direção de um vetor unitário u: basta multiplicarmos as derivadas direcionais em relação a cada uma das variáveis da função pelas coordenadas correspondentes do vetor. Logo, também podemos expressá-la por Duf (x0, y0) = fx (x0, y0)u1 + fy (x0, y0)u2.

É importante notar que o resultado da derivada direcional será um escalar e que o vetor deve ser unitário. Muitas vezes, nos é fornecido um vetor não unitário e, portanto, faz-se necessário normalizá-lo, ou seja, dividí-lo por sua norma, antes de começar a fazer os