Derivadas

A Derivada de uma função é, matemática/geometricamente falando, a taxa de variação da função em relação ao x. Simples, não? Não. A grosso modo, a derivada vai ser a dedo-duro que vai nos dizer como a função principal vai se comportar quando se muda o valor do x. O processo de inventar determinar derivadas é chamado de fazer merda diferenciação ou derivação. As notações matemáticas para a derivada podem ser:
\frac{dy}{dx}\,, que se lê: a derivada de y em relação a x;
Df(x)\,, que se lê: a derivada de f(x); f'(x)\,, que se lê: "f" linha de x;
Nota: Apenas os nerds matemáticos famosos e importantes usam a primeira notação. Pra você dá e sobra a última notação.
Derivada e taxas de variação

Exemplo de taxas relacionadas e derivadas.
Por muito tempo, muito tempo mesmo, os matemáticos tentavam entender como as funções se comportavam quando se mudava o x, mas sempre sem sucesso. Com o nascimento de grandes nerds cientistas e matemáticos, como Isaac Newton e Leibeniz, esses problemas estavam para se acabar. Estes foram os desocupados que descobriram a relação entre as derivadas e as taxas de variação das funções.
Essa relação sexual íntima foi descoberta na época em que problemas relacionando taxas de variação de velocidades de planetas (ramo da astrologia astronomia) apareceram e infernizavam a vida de astrônomos e matemáticos. Na verdade, os ábacos nunca foram de muita ajuda. Análises longas, grossas complexas e extenuantes foram necessárias por parte dos cientistas supracitados para conseguirem perceber que a derivada de uma função é, na verdade, a função que modula a variação da função inicial. E até hoje ninguém sabe como aqueles dois nerds do cão conseguiram ter tempo e vontade pra desenvolver isso.
O desenvolvimento do cálculo diferencial, que calcula derivadas, foi um marco importantíssimo na matemática, já que reduziu os casos de suicídio desses profissionais em 66%, além de ser um dos passos iniciais que levou a Engenharia a se tornar uma ciência,