derivadas

2.3. Derivadas
2.3.1. Defini¸c˜ ao e Interpreta¸ c˜ ao Geom´ etrica Anteriormente j´a mostr´amos como o coeficiente angular de uma recta
- declive de uma recta - indica a taxa `a qual a recta sobe ou desce. para uma recta, esta taxa ´e a mesma em todos os seus pontos. Para outros gr´aficos que n˜ao rectas, a taxa `a qual o gr´afico sobe ou desce pode variar de ponto para ponto. Por exemplo, consideremos o seguinte gr´afico: y (x3 , y3 )
(x2 , y2 )

(x4 , y4 ) x (x1 , y1 )

Podemos observar que a par´abola sobe mais rapidamente no ponto
(x1, y1 ) do que no ponto (x2, y2 ). No v´ertice (x3, y3 ) o gr´afico deixa de subir ou descer, e no ponto (x4, y4), o gr´afico est´a a descer.
Para determinar a taxa `a qual um gr´afico sobe ou desce num determinado ponto, podemos calcular o coeficiente angular da tangente no ponto. Em termos simples, a tangente ao gr´afico duma fun¸c˜ao f num ponto P (x, y) ´e a recta que melhor aproxima o gr´afico naquele ponto conforme podemos ver pelo gr´afico anterior.

1

Assim, o problema da determina¸c˜ao da inclina¸c˜ao de um gr´afico num ponto reduz-se ao de achar o coeficiente angular da tangente naquele ponto. Um m´etodo para obtermos aproxima¸c˜oes de tangentes consiste em fazer uso da recta secante pelo ponto de tangˆencia e por um segundo ponto do gr´afico conforme se mostra na figura seguinte: y (x + ∆x, f (x + ∆x)) f (x + ∆x) − f (x)
(x, f (x))
∆x
x

Se (x, f (x)) ´e ponto de tangˆencia e (x+∆x, f (x+∆x)) ´e um segundo ponto do gr´afico de f , ent˜ao o coeficiente angular da secante que passa por estes pontos ´e

msec =

f (x + ∆x) − f (x) ∆y
=
∆x
∆x

(1)

onde ∆x ´e a varia¸c˜ao de x e ∆y ´e a varia¸c˜ao de y. Se aproximarmos cada vez mais o segundo ponto do ponto de tangˆencia, obtemos melhores aproxima¸c˜oes do coeficiente angular da tangente como podemos verificar pelos gr´aficos seguintes:

2

y

y

y

(x + ∆x, f (x + ∆x))

(x + ∆x, f (x + ∆x))
∆y