Derivadas

Módulo 2

Aplicações de Derivadas

A partir deste momento, passaremos a estudar seqüência, limites e continuidade de uma função real. Leia com atenção, caso tenha dúvidas busque

f seja contínua no
[a,b] e que f '(x) exista no inx b . Então, existe pelo menos

tervalo aberto a um valor c entre a e b , tal que

f (b) f (a)
.
b a

f '(c)

indicadas e também junto ao
Sistema de Acompanhamento

pelo menos um ponto c (a, b) tal que a reta tangenc, f (c) é paralela à reta que passa pelos pontos A

a, f (a) e B

b, f (b) , como indica

y
B

f(b) f(c) f(a)

0

A
[
a

c

] b x

Figura 6.1

255

Curso de Graduação em Administração a Distância

Exemplo 6.1 Seja f (x) x 2 valor de c que o TVM garante existir.
Resolução: Aqui a assim f (a)
Como f (x)

1 eb

f ( 1)

1

1,3 . Calcular o

3. Vamos calcular f (a) e f (b) ,
2

1 e f (b)

f (3)

32

x 2 é contínua para todo x , f '(x)

1 x

3 e f '(c)

2c para 1 c

f '(c)

f (b) f (a) b a

2x existe em

3, temos

9 1
3 ( 1)

2c

9.

8
4

2

2c

2

c 1,

ou seja, c 1.
Portanto, o valor de c que o TVM garante existir em
Exemplo 6.2 Seja f (x)

x3 , a

1,3 vale 1.

2 eb

2 . Determine os pontos desse

Resolução: teses do TVM. Queremos determinar c

-

f '(c)

2,2 tal que

f (b) f (a)
.
b a

3x 2 e f (c)

3c 2 para c

f (b) f (a) b a

Assim, f (x)

8 ( 8)
2 ( 2)

de forma que f (c)
3c 2

f (b) f (a) b a
4
4 c2 c 3

Logo, os dois valores de c são: c1 eb 256

2 , nos quais a tangente à curva y

2,2 . Então
4,

2
3

2
3

e c2

2
3

entre a

2

x 3 é paralela à corda que passa

Módulo 2

pelos pontos ( 2, 8) e (2,8) .
2

c1

3

e c2

2
3

.

A fórmula de Taylor é uma extensão do teorema do valor médio.

Seja f uma função tal que f e suas n primeiras derivadas f , f ,..., f ( n 1) , f ( n) sejam contínuas em[a,b] . Além disso, f