Derivadas

Capítulo 7

APLICAÇÕES DA DERIVADA
7.1 Variação de Funções
Definição 7.1. Seja f uma função e x0 ∈ Dom(f ). 1. f possui um ponto de máximo relativo ou de máximo local no ponto x0 , se existe um pequeno intervalo aberto I que contem x0 tal que: f (x0 ) ≥ f (x), para todo x ∈ I ∩ Dom(f )

A imagem de x0 , f (x0 ), é chamada valor máximo local de f . 2. f possui um ponto de mínimo relativo ou de mínimo local no ponto x0 , se existe um pequeno intervalo aberto I que contem x0 tal que: f (x) ≥ f (x0 ), para todo x ∈ I ∩ Dom(f )

A imagem de x0 , f (x0 ), é chamada valor mínimo local de f .

Max

Min

Figura 7.1: Pontos de mínimo e máximo. Em geral, um ponto de máximo ou de mínimo é chamado ponto extremo. 253

254 Exemplo 7.1.

CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES DA DERIVADA

[1] Seja f (x) = x2 , x ∈ R; x0 = 0 é um ponto de mínimo relativo, pois x2 ≥ 0 para todo x ∈ R e f (0) = 0. Na verdade x0 = 0 é o único ponto extremo de f . [2] Seja f (x) = |x|, x ∈ R; x0 = 0 é um ponto de mínimo relativo, pois |x| ≥ 0 para todo x ∈ R e f (0) = 0. Como no exemplo anterior, x0 = 0 é o único ponto extremo de f .
3

2

1

3

2

1

1

2

3

Figura 7.2: Gráfico de f (x) = |x|. [3] Seja f (x) = x, x ∈ R. f não possui pontos de máximo ou mínimo relativos em R. Se f é restrita ao intervalo −1, 1 , então f possui o ponto x0 = 1 de máximo relativo. Se f é restrita ao intervalo [0, 2], então f possui o ponto x0 = 2 de máximo relativo e o ponto x0 = 0 de mínimo relativo. Se f é restrita ao intervalo (0, 1), então f não possui pontos de máximo relativo ou de mínimo relativo. Estes exemplos nos indicam a importância dos domínios das funções quando queremos determinar pontos extremos. Proposição 7.1. Se f é uma função derivável no intervalo (a, b) e x0 ∈ (a, b) é um extremo relativo de f , então f ′ (x0 ) = 0. A proposição nos indica que num ponto de máximo ou de mínimo relativo de uma função f , a reta tangente ao gráfico de f nesses pontos é paralela ao eixo dos x. Para