Derivadas

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5. Derivada
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Para entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a definição matemática da derivada de uma função em um ponto:
Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0, denotada por f ’(x0), é dada por:
' ( ) 0 f x =
0
lim® Dx x f x x f x
D
( + D ) − ( ) 0 0 , se este limite existir. Dx representa uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando
( ) 0 0 x = x + Dx Dx = x − x , a derivada de f em x0 pode também se expressa por
' ( ) 0 f x =
0
limx x® 0
0 ( ) ( ) x x f x f x
−
−
.
Notações: f ' ( x0,) , x x0 dx df =
, ( ) 0 x dx df
.
Interpretação física: a derivada de uma função f em um ponto x0 fornece taxa de variação instantânea de f em x0. Vejamos como isso ocorre:
Suponha que y seja uma função de x, ou seja, y = f(x). Se x variar de um valor x0 até um valor x1, representaremos esta variação de x, que também é chamada de incremento de x, por Dx = x1 - x0, e a variação de y é dada por Dy = f(x1)- f (x0), o que é ilustrado na figura a seguir:
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O quociente das diferenças, dado por
1 0
1 0 ( ) ( ) x x f x f x x y
−
−
=
D
D
, é dito taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo [x0, x1 ]. O limite destas taxas médias de variação, quando Dx Ø 0, é chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x, em x = x0. Assim, temos:
Taxa de variação instantânea = x f x x f x