Derivadas Parciais
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DERIVADAS PARCIAISMotivação
A figura abaixo ilustra a definição e a interpretação geométrica da derivada de uma função de uma variável
y = f ( x) .
mRT ( x0 ) = f '( x0 ) =
f ( x0 + h) − f ( x0 ) df ( x0 ) = lim h→0 dx h DERIVADAS PARCIAIS DE UMA FUNÇÃO
Definição: Se ( x0 , y0 ) é um ponto do domínio da função de duas variável então a derivada parcial de função que resulta quando parcial é dada por:
f ( x, y )
y = y0
em relação a
x no ponto
for mantido fixado e a
x
z = f ( x, y ) ,
( x0 , y0 ) é a derivada em x0 da
for permitido variar. Essa derivada
f ( x0 + h , y 0 ) − f ( x0 , y 0 )
∂f
( x0 , y 0 ) = f x ( x0 , y 0 ) = lim
.
h→0
∂x
h
Ilustração da Definição
Analogamente, a derivada parcial de derivada em y0 da função que resulta quando
Essa derivada parcial é dada por:
f ( x, y )
em relação a
y
no ponto ( x0 , y0 ) é a
x=x0 for mantido fixado e a y
for permitido variar.
f ( x0 , y0 + h) − f ( x0 , y0 )
∂f
( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y0 ) = lim
.
h →0
∂y
h
Ilustração da Definição:
OBSERVAÇÃO: Note que na definição da derivada parcial de
f ( x0 + h , y 0 ) − f ( x0 , y 0 )
∂f
( x0 , y 0 ) = lim h→0 ∂x h ( x0 , y0 ) , valor de
ponto
y
fixo e igual a
x=x0 , ou seja,
x no ponto
é calculada mantendo o
g ( x0 + h ) − g ( x0 )
∂f
dg
( x0 , y 0 ) =
( x0 ) = lim h→0 ∂x dx h f ( x, y )
em relação a
f ( x0 , y 0 + h ) − f ( x0 , y 0 )
∂f
( x0 , y0 ) = lim h→0 ∂y h fixo e igual a
em relação a
y0 e desta forma estaremos derivando a função g ( x ) = f ( x, y0 )
Analogamente, a derivada parcial de
ou seja,
f ( x, y )
y
.
no ponto
( x0 , y0 ) ,
é calculada mantendo o valor de
x0 e desta forma estaremos derivando a função g ( y ) = f ( x0 , y )
g ( y0 + h ) − g ( y0 )
∂f
dg
( x0 , y 0 ) =
( y 0 ) = lim
.
h→ 0
∂y
dy h no
no ponto
x
y=y0,
EXEMPLOS: 1) Se f ( x, y ) = −(