Derivadas Parciais

Páginas: 8 (1956 palavras) Publicado: 22 de novembro de 2013
www.abacoaulas.com                                          Derivadas

1a Parte. Derivadas Parciais.
Derivada parcial: Suponha que f(r,s,...,y,z) seja
uma função de n variáveis. A derivada parcial de
f em relação a sua variável t e representada por
ft e é definida como sendo a função obtida
derivando-se f em relação a t e considerando-se
as outras variáveis como constantes.
Notação:
fx,fy, ∂f/∂fx, ∂f/∂y
À medida que damos um zoom em um ponto
pertencente à uma superfície, que é o gráfico de
uma função diferenciável de duas variáveis, a
superfície parece mais e mais com um plano (seu
plano tangente) e podemos aproximar a função,
nas proximidades do ponto, por uma função
linear de duas variáveis.
Derivada parcial de segunda ordem:
fxx, fyx, fxy, fyy; ∂2f/∂x2 etcParciais                                    Prof. Alexandre Ortiz Calvão

2a Parte. Regra da cadeia e Teorema
da função implícita.
Regra da cadeia para uma variável
independente.
Seja w=f(x,y), onde f é uma função diferenciável
de x e y. Se x=g(t) e y=h(t), onde g e h são
funções diferenciáveis de t, então w é uma
função diferenciável de t e
dw/dt = ∂w/∂x.dx/dt + ∂w/∂y.dy/dt
Regra da cadeia:duas variáveis
independentes
Seja w=f(x,y), onde f é uma função diferenciável
de x e y. Se x=g(s,t) e y=h(s,t) são tais que as
derivadas parciais de primeira ordem ∂x/∂x, ∂x/∂t,
∂y/∂s, ∂y/∂xt existem, então ∂w/∂s e ∂w/∂t
também existem e são dadas por
∂w/∂s = ∂w/∂x.∂x/∂s + ∂w/∂y.∂y/∂s
e
∂w/∂t = ∂w/∂x.∂x/∂t + ∂w/∂y.∂y/∂t

Derivadas parciais mistas de segunda ordem:
fyx = fxy

Regra dacadeia e diagrama em árvore.
Para achar a taxa de variação de uma variável
Teorema da igualdade das derivadas com relação a outra numa cadeia de funções
parciais mistas (Schwartz). Se fxy(a,b) e compostas diferenciáveis;
fyx(a,b) forem contínuas em (a,b), então
a) Trace um diagrama em árvore exprimindo as
fxy(a,b) = fyx(a,b)
relações entre as variáveis e assinale cada
ligação no diagramaa derivada que relaciona as
Linearidade local. Fórmula de aproximação,
variáveis nas extremidades.
diferenciação total:
b) Paca cada caminho entre duas variáveis
variação de f =
multiplique as derivadas de cada passo ao longo
(taxa de variação na direção x). △x +
do caminho.
(taxa de variação na direção y). △y
c) Some as contribuições de cada caminho.
△f = ∂f/∂x.△x + ∂f/∂y.△yLinearização local. Aproximação pelo plano
tangente a f(x,y) para (x,y) próximo do ponto
(a,b). Desde que f seja diferenciável em (a,b)
podemos aproximar f(x,y)
f(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b).
Pensamos em a e b como fixos, de modo que a
expressão no segundo membro linear em x e y. O
segundo membro desta aproximação chama-se a
linearização local de f perto de x=a, y=b.
Diferencial. Adiferencial de uma função z=f(x,y)
A diferencial df (ou dz), num ponto (a,b) é a
função linear de dx e dy dada pela fórmula
df=fx(a,b).dx +fy(a,b).dy
A diferencial num ponto geral frequentemente é
escrita como df=fx.dx +fy.dy
Teorema. Se as derivadas parciais fx e fy existem
perto do ponto (a,b) e são contínuas em (a,b),
então f é diferenciável em (a,b).
Teorema da igualdade das derivadasparciais mistas (Schwartz). Seja f: A ⊂ R2 ->
R, A aberto. Se f or de classe C2 em A,
∂2f(x,y)/∂x∂y = ∂2f(x,y)/∂y∂x
para todo (x,y) ∈ A.

Grafo de árvore
z
z/x
z/x
y

x
x/s
s

x/t
t

y/s
s

z/t
t

Diferenciação Implícita. Se a equação f(x,y)=0
define y como uma função diferenciável de x,
então
dy/dx= -Fx(x,y)/Fy(x,y),
Condições de aplicabilidade do teorema dafunção implícita.
i. Se F(a,b,c)=0, Fz(a, b, c)≠ 0, e Fx, Fy, e Fz são
contínuas dentro da esfera, então a equação F(x,
y, z) define z como uma função de x e y perto do
ponto (a, b, c) e esta função é diferenciável com
derivadas das por:
∂z/∂x = -Fx(x,y)/Fz(x,y), Fx(x,y)≠ 0
e
∂z/∂y = -Fy(x,y)/Fz(x,y), Fz(x,y)≠ 0

www.abacoaulas.com                                          Derivadas...
Ler documento completo

Por favor, assinar para o acesso.

Estes textos também podem ser interessantes

  • Derivadas parciais
  • Derivadas Parciais
  • DERIVADAS PARCIAIS
  • Derivadas Parciais
  • Derivadas parciais
  • Derivadas parciais
  • Derivadas Parciais
  • derivada parcial

Seja um membro do Trabalhos Feitos

CADASTRE-SE AGORA!