Derivadas Apostila De Carlos Joari 2014

Derivadas
Derivadas de Funções Elementares
Taxa de variação e incremento
Dada uma função y  f  x  , que varia uniformemente em um certo intervalo, e considere-se x um ponto deste intervalo. Se for dado um pequeno acréscimo a x , representado por  x (denominada incremento da variável independente x ), neste ponto a função y sofrerá um acréscimo  y , isto é, y  y  f  x  x 

ou

 y  f x   x   y   y  f x   x   f x  .
Expressão denominada incremento da função y .
Se a expressão anterior independente tem-se

for dividida pelo incremento

x

da variável

y f ( x1  x) f ( x1 )

x
 x

Esta última expressão é denominada taxa de variação média de y em relação a x .
Graficamente pode-se representar as relações anteriores como segue:

f x 

Y

y2

reta secante

Q
y
P

y1 tangente em P

x

 x1 x2

 x  x 2  x1

y  y 2  y1
 y x  m


X

Note que y x é a inclinação da reta secante (que corta a curva em P e
Q ). Se  x for muito pequeno, isto é,  x  0 , então o ponto Q tende para

Prof. Carlos Joari

Notas de aula

o ponto P , a inclinação da reta secante da reta tangente no ponto P , ou seja,

Cálculo Diferencial e Integral

PQ 

tende para a inclinação “ m ”

y f  x  x   f  x 
 lim x  0 x x 0
x

m  tan   lim

m  lim x 0

f  x  x   f  x 
x

O “ m ” é também denominado coeficiente angular da reta tangente à curva y  f  x  no ponto P . Esta reta só contém um ponto x1 , y1  em comum com a curva f  x  , e sua equação é: y  mx  b

onde m e b podem ser determinados em cada ponto  x1 , y1  conforme mostra o exemplo a seguir. Como foi visto anteriormente o coeficiente angular m pode ser convertido em ângulo, ou seja m  tan g      arctan g  m  .
Exemplo: Dada a função y  x 2  x0 , determinar a equação da reta tangente e seu ângulo no ponto x0  2 .
Y

y  x2  2 para x  2  y  6 e

12

Se

9

P2,6

o ponto onde vamos calcular a tangente é

6

P2,6

3

1

2

3

X

a) Cálculo