Derivada

Matrizes hermitianas e unit´rias a Amit Bhaya,
Programa de Engenharia El´trica e COPPE/UFRJ
Universidade Federal do Rio de Janeiro [e-mail] http://www.nacad.ufrj.br/˜amit

COE745, c Amit Bhaya

Aula 7: Roteiro para estudo

Matrizes complexas
O produto interno entre x, y ∈ Cn ´ definido como e e xH y, onde xH = xT , onde x ´ o conjugado complexo do vetor x.
O vetor x ´ ortogonal a y se xH y = 0, e o comprimento e de x ´ x = (xH x)1/2. e A conjugada transposta de uma matriz A ´ escrita e AH . Note que (AB)H = BH AH .
Trˆs propriedades fundamentais de matrizes e hermitianas:
1.
Se A = AH , ent˜o, ∀x ∈ Cn, o n´mero a u xH Ax ∈ R.
2. Todo autovalor de uma matriz hermitiana ´ real. e 3.
Os autovetores de uma matriz hermitiana correspondentes a autovalores distintos s˜o ortogonais. a 1

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Aula 7: Roteiro para estudo

Matrizes sim´tricas e teorema espectral e Conclus˜o (da 3a prop. na p´gina anterior): Uma a a matriz real sim´trica A = AT pode ser fatorada como e −
→
T a A = QΛQ – os AV o.n. de A s˜o as colunas de Q, e os AV de A formam a diagonal de Λ.
O fato acima A = QΛQT ´ conhecida como teorema e espectral, pois Λ cont´m o conjunto de AV (:= e espectro de A), ou ainda como teorema de eixos principais. Escrevendo
A = λ1q1qT + · · · + λnqnqT
1
n

(1)

vemos que A pode ser escrita como uma combina¸˜o ca linear (coefs. s˜o os AV) de n matrizes projetoras a (de posto um), que projetam nas n autodire¸˜es o.n. co Refere-se a (1) como decomposi¸˜o espectral de A. ca 2

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Aula 7: Roteiro para estudo

Matrizes unit´rias a Uma matriz U ´ denominada unit´ria se UH U = e a
UUH = I. Em outras palavras, U possui colunas
o.n. e linhas o.n. e UH = U−1.
Propriedades de matrizes unit´rias: a 1. Matrizes unit´rias preservam ˆngulo e comprimento a a
(i.e., preservam o produto interno). (Ux)H Uy = xH y
⇒ Ux = x .
2. Todo autovalor de