Derivada

6.1. DERIVABILIDADE E DIFERENCIABILIDADE

111

6.1.2

Derivada de ordem superior e derivação implícita

Observe que se f é derivável num subconjunto A de seu domínio D, obtemos então uma nova função g = f 0 cujo domínio é A. Pode-se então verificar em que pontos de A, a função g é derivável. Assim, se g é derivável em a ∈ A ∩ A0 , dizemos que f é duas vezes derivável em a e g0 (a) = f ”(a), denominada derivada segunda de f em a. E assim sucessivamente, pode-se verificar se g 0 é derivável em a e se o for tem-se que f é três vezes derivável em a e f 000 (a) é denominada derivada terceira ou de terceira ordem de f em a. Estas derivadas são denominadas, de uma maneira geral, derivadas de ordem superior e a n = esima derivada de f em a é denotada por f (n) (a). É claro que as propriedades ´ válidas para a derivação também são válidas para as derivadas de ordem superior. Definição 6.53 Sejam f : D ⊂ R → R, n ∈ N, n > 1, tal que f é n − 1 vezes derivável em X ⊂ D. Seja a ∈ X ∩ X 0 . Dizemos que existe a n − esima derivada de f em a, quando ´ existe f (n−1) (x) − f (n−1) (a) lim = f (n) (a) . x→a x−a Definição 6.54 Sejam f : D ⊂ R → R e n ∈ N. Dizemos que f é de classe C n em D e denotamos por f ∈ C n (D) quando f admite todas as derivadas até ordem n, contínuas em cada ponto de D. Definição 6.55 Seja f : D ⊂ R → R. Dizemos que f ∈ C ∞ (D) quando f admite derivada de todas as ordens, contínuas em cada ponto de D. √ 3 Exemplo 6.56 Determine em que pontos a função f (x) = x4 é duas vezes derivável e nestes pontos determine sua derivada e sua derivada segunda. Como a função g(x) = x4 √ é derivável em R e 3 y é derivável em R\{0}, podemos garantir, pelo teorema da composta que f é derivável em R\{0}. No ponto a = 0, devemos verificar por definição. Vejamos √ 3 √ f (x) − f (0) x4 = lim = lim 3 x = 0. lim x→0 x→0 x x→0 x−0 Portanto, f é derivável em 0 e f 0 (0) = 0. Ainda da regra da cadeia temos que f 0 (x) = 4√ √ 3 x, ∀x ∈ R. Assim, f 0 é derivável em R\{0}. Como 3 y é