Derivada Direcional Calculo3 2sem 2014

FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA
Disciplina: Cálculo III
Curso: Engenharia

DERIVADA DIRECIONAL
Se você olhar o mapa que mostra os contornos da Região de West Point ao longo do rio Hudson em Nova York, notará que os afluentes correm perpendicularmente aos contornos. Os rios seguem os caminhos de maior inclinação de maneira que as águas atinjam o rio Hudson o mais rapidamente possível. Portanto, a taxa de variação instantânea na altitude do rio acima do nível do mar tem uma direção definida. Vamos verificar que esta direção é perpendicular aos contornos.

Figura: Cálculo vol. 2, George B. Thomas

∂f
∂f
e
∂x
∂y representam as taxas de variação de z na direção dos eixos
Se

z = f ( x, y ) ,

as

derivadas

x e y na direção dos versores i

parciais

e

j . Suponha que

queiramos determinar a taxa de variação de z no ponto

( x0 ,

y 0 ) na direção de um vetor unitário u =

( a , b)

como

na figura ao lado:

1

Para fazê-lo devemos considerar a superfície S com equação z = f ( x, y ) e tomar

z = f ( x0 , y 0 ) . O ponto P( x 0 , y 0 , z 0 ) pertence a S. O plano vertical que passa por P na direção de u intercepta S numa curva C (ver figura abaixo). A inclinação da reta t tangente a C em P é a taxa de variação (derivada) de z na direção de u .

Se Q( x , y , z ) é outro ponto sobre C e P’ , Q’ são as projeções de P e
Q sobre o plano-xy, então o vetor paralelo a

P 'Q '

é

,

e

u

portanto
P 'Q ' = h u = para algum escalar h.
Portanto,

x − x0 = h a

=>

x = x0 + h a

y − y0 = h b

=>

y = y0 + h b

( ha, hb ) valor do

E então.
∆z
= h z − z0 h =

f ( x 0 + ha , y 0 + hb ) − f ( x0 , y 0 ) h Se tomarmos o limite quando h → 0 , obteremos a taxa de variação z na direção de u , que é chamada derivada direcional de f na direção e sentido de u .
Definição: A derivada direcional de f em ( x 0 , y 0 ) na direção do vetor unitário u =
Du f ( x0 , y 0 ) =

lim h → 0

f ( x 0 + ha , y 0 + hb ) − f ( x 0 , y 0 ) h ( a , b)

é

, se esse limite existir.

2

Obs.: