derivada - conceito fatec

૞. ࡰࢋ࢘࢏࢜ࢇࢊࢇ

૞. ૚. ࡰࢋࢌ࢏࢔࢏çã࢕
‫݊ݑ݂ ܽ݀ ࢇࢊࢇ࢜࢏࢘ࢋࢊ ܣ‬çã‫ ݋‬y = f (x ) é ܽ ݂‫݊ݑ‬çã‫ ݋‬y ′ = f ′(x ) ݁݉ ‫ , ݋݀ܽݔ݂݅ ݔ‬é ݀ܽ݀ܽ ‫:݁ݐ݈݅݉݅ ݋݈݁݌‬

ࢌሺ࢞ + ∆࢞ሻ − ࢌሺ࢞ሻ
∆࢞→૙
∆࢞
‫ݏ ܱ .݋ݐ݂݅݊݅ ݎ݋݂ ݁ ݎ݅ݐݏ݅ݔ݁ ݁ݐݏ݁ ݋݀݊ܽݑݍ‬íܾ݉‫ݔ∆ ݋݈݋‬ሺ ݈݀݁‫ݔ ܽݐ‬ሻ‫ݎܿܽ ݉ݑ ܽݐ݊݁ݏ݁ݎ݌݁ݎ‬é‫݀ ݁ݏ ݁ݑݍ ݋݉݅ܿݏ‬á ܽ ‫ݔ‬
݂݅‫.݂ ݁݀ ݋݅݊݅݉݋݀ ݋݊ ݋݀ܽݔ‬
Observe que tanto y ′ quanto f ′(x ) são notações para representar a derivada da função y = f (x ) . dy , que se lê a derivada de y em relação a x, é
Outra notação importante para derivada de y = f (x ) é dx devido a Leibniz. A fórmula ∆‫݂ = ݕ‬ሺ‫ݔ∆ + ݔ‬ሻ − ݂ሺ‫ݔ‬ሻé a variação da função y = f (x ) quando em x varia dy ∆y
∆x e com isso podemos escrever a derivada da função y = f (x ) do seguinte modo: e nos
= lim dx ∆x →0 ∆x
∆y
conta que a derivada de y = f (x ) é o limite, para ∆x tendendo a zero da taxa de variação média
.
∆x
Dizemos que a função y = f (x ) é derivável ou diferenciável em um conjunto se f ′(x ) existir para todo x desse conjunto. Por outro lado, dizer simplesmente que, que y = f (x ) significa que f ′(x ) existe para todo x do domínio de f (x ) .
ࢌᇱ ሺ࢞ሻ = ‫ܕܑܔ‬

૞. ૛ ࡲ࢛࢔çõࢋ࢙ ࡰࢋ࢘࢏࢜ࢇࢊࢇ࢙ ࡱ࢒ࢋ࢓ࢋ࢔࢚ࢇ࢘ࢋ࢙
࡭. ࡰࢋ࢘࢏࢜ࢇࢊࢇ ࢊࢇ ࡲ࢛࢔çã࢕ ࢉ࢕࢔࢙࢚ࢇ࢔࢚ࢋ
A função constante f ( x ) = k é derivável e f ′( x ) = 0 , para todo x. k −k
=0
De fato, ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ݂ሺ‫ݔ∆ + ݔ‬ሻ = ݇ , logo f ′ሺ x ሻ = lim
∆x →0 ∆x
Abreviando escrevemos (k )′ = 0
ࡱ࢞ࢋ࢓࢖࢒࢕ ૚. ‫݊ݑ݂ ݏܽ݀ ܽ݀ܽݒ݅ݎ݁݀ ܽ ݎ݈ܽݑ݈ܿܽܥ‬çõ݁‫ܽ :ݏ‬ሻ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = 2 , ܾሻ‫ܿ , 5− = ݕ‬ሻ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ = √2.
ࡿ࢕࢒࢛çã࢕:

࡮. ࡰࢋ࢘࢏࢜ࢇࢊࢇ ࢊࢋ ࡲ࢛࢔çõࢋ࢙ ࡼ࢕࢚ê࢔ࢉ࢏ࢇ࢙.

′ n é ݀݁‫ݒ݅ݎ‬á‫ ݁ ݈݁ݒ‬ x n  = nx n−1 .
૚ሻ ܲܽ‫ ݈ܽݎݑݐܽ݊ ݋݀݋ݐ ܽݎ‬n ≠ 0 ܽ ݂‫݊ݑ‬çã‫ ݋‬x
 
  n n n n
(u − x ) ( u −x u n −1 + u n −2 x + ... + x n −1 )
ሺ x + ∆x ሻ − x
= lim
=
De fato. (x n )′ = lim
= = lim u →x u − x u →x
∆x → 0 u −x
∆x
−1
−2
n−
2
−1
= x n44x n44243 x 444n3 = nx n −1
1 + 4 x + x 4 + ...x n parcelas

ࡱ࢞ࢋ࢓࢖࢒࢕ ૛. ‫.ܽ݀ܽݒ݅ݎ݁݀ ܽ ݎ݈ܽݑ݈ܿܽܥ‬
′
aሻ ( x ) =

′ bሻ (x 2 ) =

′ cሻ (x 3 ) =

ࡱ࢞ࢋ࢓࢖࢒࢕ ૜. ܲܽ‫ ܽݎ‬f ( x) = x 10 , ݈ܿܽܿ‫ ݎ݈ܽݑ‬A = f ′(1)