Derivada 2014 b

1

1. INTRODUÇÃO

Como traçar a reta tangente a uma curva qualquer por um de seus pontos?
Esse problema que desafiou os matemáticos por mais de dois mil anos, só foi solucionado com o auxílio da Geometria Analítica, por meio de estudos realizados por Descartes, Newton, Leibniz, Fermat e outros matemáticos da mesma época. Tais estudos resultaram em um dos mais importantes conceitos da matemática: a derivada de uma função em um ponto. A partir desse conceito pode-se definir precisamente a reta tangente a uma curva qualquer por um de seus pontos.
A derivada representa a inclinação de uma curva num ponto e pode ser usada para obter a equação da reta tangente a uma curva num determinado ponto. É também utilizada para calcular taxas de variação. Nas aplicações práticas, ela é aplicada em diversos ramos da Física, Engenharia, Economia e etc.

2. A RETA TANGENTE

Seja y  f (x) uma curva definida no intervalo a, b  , como mostra a figura abaixo: 2
Sejam Px1 , y1  e Qx2 , y 2  dois pontos distintos da curva y  f (x) .
Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q. Considerando o triângulo retângulo PMQ, na figura, temos que a inclinação da reta s ou o coeficiente angular de s é:

tg 

y  y1 y cateto oposto
 2

cateto adjacente x2  x1 x

Suponhamos agora que, mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P. Diante disto, a inclinação da reta secante s variará. À medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P, a inclinação da secante varia cada vez menos, tendendo para um valor limite constante.
Esse valor limite é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P, ou também inclinação da curva em P.

Definição: Dada uma curva y  f (x) , seja Px1 , y1  um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente ou o coeficiente angular é a derivada de y  f (x) no ponto de abiscissa x1 . Essa derivada, que se indica por f ' ( x1 ) , é calculada por: f ' ( x1 )  lim

x 0

f ( x1  x)  f ( x1 )
x

quando o limite existe.
Obs.: tg  f ' (