demonstrações

Eixo Geometrias Tratamento Analítico
(Demonstrações dos teoremas de limite e continuidade de função)

Teorema 1: Se o lim f (x ) existe, então ele é único. x→ a

Demonstração: Suponhamos que lim f (x ) = L1 e lim f ( x ) = L2 . Vamos provar que x →a

L1 = L2 . Seja

(xn )

x →a

uma sequência de pontos do domínio de

f

satisfazendo:

lim xn = a e xn ≠ a, ∀n . Conforme nossa suposição, lim f (x ) = L1 e lim f ( x ) = L2 . Pela x →a

x →a

definição 1, segue que L1 = L2 .

Teorema 2: Se a, b, c são números reais, então lim(bx + c ) = ba + c . x→a Demonstração: Seja f (x ) = bx + c e (xn ) uma sequência satisfazendo: lim xn = a e

xn ≠ a, ∀n . Então f ( xn ) = bxn + c e: lim f ( xn ) = lim(bxn + c) = b lim xn + c = ba + c .
Segue, da definição 1, que lim(bx + c ) = ba + c . x→a Teorema 3: Se lim f (x ) = L1 e lim g (x ) = L2 , então: x →a

x →a

a)

lim[ f ( x ) + g ( x )] = L1 + L2 .

b)

lim c. f ( x ) = cL1 , ∀c ∈ » .

c)

lim f ( x ) . g ( x ) = L1L2 .

d)

lim

e)

lim n f ( x ) = n L1 , desde que L1 > 0 quando n for par.

x→a

x →a

x→a

x →a

x→ a

f (x ) L1
= , desde que L2 ≠ 0 . g ( x ) L2

f)

lim sen[ f (x )] = sen L1 e

g)

lim e f ( x ) = e L1 .

h)

lim ln[ f (x )] = ln L1 , desde que L1 > 0 .

x →a

lim cos[ f (x )] = cos L1 . x →a

x→a

x →a

Demonstração: Demonstraremos apenas os itens (a)-(c). Já a demonstração dos demais itens não será feita agora. Posteriormente será demonstrado um teorema mais geral, no qual estão inseridos estes itens.
Demonstração de (a): Seja (xn ) uma sequência tal que lim xn = a e xn ≠ a, ∀n . Por hipótese, lim f ( xn ) = L1 e lim g ( xn ) = L2 . Pelo item 1 do teorema 3, temos que: lim  f ( xn ) + g ( xn )  = lim f ( xn ) + lim g ( xn ) = L1 + L2 .



Pela definição 1, lim[ f ( x ) + g ( x )] = L1 + L2 . x→a Teorema 4: Se lim f (x ) = 0 e se g é limitada num intervalo aberto que contém o x →a

ponto a ,