Demonstração m

Páginas: 38 (9391 palavras) Publicado: 20 de outubro de 2014
T´ cnicas para Demonstrar Teoremas
e
Matem´ tica Discreta I
a
Rodrigo Geraldo Ribeiro1
1

Departamento de Ciˆ ncias Exatas e Aplicadas – Universidade Federal de Ouro Preto
e
{rodrigogribeiro}@decea.ufop.br

1. Introducao
¸˜
Matem´ ticos s˜ o pessoas c´ ticas. Eles usam muitos m´ todos, incluindo experimentacao
a
a
e
e
¸˜
com exemplos e tentativa e erro para tentar encontrarrespostas para quest˜ es matem´ ticas,
o
a
mas eles n˜ o s˜ o convencidos que esta resposta est´ correta a menos que eles consigam
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a
prov´ -la. Antes de iniciar o curso de Matem´ tica Discreta I, vocˆ , com certeza, j´ deve
a
a
e
a
ter se deparado com diversas provas matem´ ticas, por´ m, e poss´vel que vocˆ n˜ o tenha
a
e ´
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1
´
experiˆ ncia em escrever provas . O objetivodeste texto e mostrar como construir suas
e
pr´ prias provas.
o
Pode-se fazer uma analogia do processo de construcao de uma prova, com a mon¸˜
tagem de um quebra-cabecas muito grande. N˜ o existe uma regra para montar um quebra¸
a
´ nica regra diz respeito ao resultado: Todas as pecas devem se encaixar
cabeca grande. A u
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¸
para formar a figura do quebra-cabecas corretamente. O mesmovale para provas. Em uma
¸
demonstracao, muitas vezes tentamos encaixar pecas que n˜ o nos levam a lugar algum...
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¸
a
Apesar de n˜ o existirem regras de como quebra-cabecas devam ser resolvidos,
a
¸
algumas t´ cnicas para resolvˆ -los paracem funcionar melhor que outras. Por exemplo,
e
e
geralmente, vocˆ monta um quebra-cabecas preenchendo as bordas primeiro, e, gradae
¸
tivamente,preenche o interior deste. Algumas vezes, vocˆ pode tentar encaixar pecas
e
¸
em lugares incorretos e depois de algum tempo percebe que n˜ o est´ fazendo nenhum
a
a
progresso. A medida que as pecas se encaixam, vocˆ percebe que a solucao est´ mais
¸
e
¸˜
a
pr´ xima, e, aos poucos a figura final comeca a surgir do emaranhado de pecas aparenteo
¸
¸
mente sem sentido.
Durante o processode construcao de uma prova, muitas vezes, encaixamos pecas
¸˜
¸
nos lugares errados. A medida que encaixamos uma peca no lugar correto, percebemos
¸
que a solucao final, est´ pr´ xima...
¸˜
a o
Matem´ ticos formalizam suas respostas a suas d´ vidas por meio de um teorema
a
u
que diz que se certas suposicoes chamadas hip´ teses do teorema forem verdadeiras, ent˜ o
¸˜
o
a
a conclus˜ otamb´ m deve ser. Muitas vezes, as hip´ teses e a conclus˜ o cont´ m vari´ veis
a
e
o
a
e
a
livres2 , e neste caso, fica sub-entendido que estas vari´ veis podem ser quaisquer elemena
´
tos do universo de discurso. Uma atribuicao de valores particulares a estas vari´ veis e
¸˜
a
chamada de instˆ ncia do teorema, e para que um teorema seja correto, este deve ser
a
verdadeiro paratodas as instˆ ncias poss´veis, sempre que as hip´ teses deste toerema
a
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o
forem verdadeiras. Caso exista alguma instˆ ncia que faca a conclus˜ o ser falsa quando
a
¸
a
1

A partir deste ponto do texto, a palavra prova ir´ significar prova matem´ tica, a menos que seja especia
a
ficado o contr´ rio.
a
2
vari´ veis que n˜ o est˜ o associadas a nenhum ∃ e ∀
a
a
a

´
as hip´ tesesforem verdadeiras, ent˜ o diz-se que este teorema e incorreto. Esta instˆ ncia
o
a
a
´
que invalida um teorema e chamada de contra-exemplo.

2. Um primeiro exemplo...
Teorema. Suponha x > 3 e y < 2. Ent˜ o x2 − 2y > 5.
a
´
Este teorema e correto (A demostracao deste teorema fica como exerc´cio!). As
¸˜
ı
´ x2 − 2y > 5. Como
hip´ teses deste teorema s˜ o x > 3 e y < 2, e a conclus˜ o eo
a
a
uma poss´vel instˆ ncia para este teorema, pode-se atribuir o valor 5 para x e 1 para y.
ı
a
Evidentemente, estes valores tornam verdadeiras as hip´ teses x > 3 e y < 2, ent˜ o o
o
a
teorema nos diz que a conclus˜ o tamb´ m deve ser verdadeira. Atribuindo estes valores
a
e
´
de x e y na conclus˜ o temos que: x2 − 2y = 52 − 2 · 1 = 25 − 2 = 23 e, e evidente que
a
23 > 5....
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