DELTA DE DIRAC

Fun¸ca˜o delta de Dirac
Prof. Dr. Ricardo Luiz Viana
Departamento de F´ısica
Universidade Federal do Paran´a
Curitiba, Paran´a, Brasil
15 de abril de 2013
O f´ısico te´orico inglˆes Paul Adrian Maurice Dirac introduziu, na d´ecada de 1930, a chamada fun¸ca˜o delta δ(x), como um recurso matem´atico u
´til na descri¸ca˜o da mecˆanica quˆantica, da qual foi um dos principais criadores [1].
Posteriormente foram descobertas outras situa¸co˜es em que a fun¸ca˜o delta pode ser usada. A rigor, no entanto, δ(x) n˜ao ´e uma fun¸ca˜o, de fato, o que, a princ´ıpio, causou um certo desconforto entre os matem´aticos. Foi somente a partir da d´ecada de 1940 que um grupo de matem´aticos, entre os quais o francˆes Laurent Schwartz, desenvolveu uma teoria rigorosa para a fun¸ca˜o delta, na qual ela ´e considerada uma fun¸ca˜o generalizada, ou distribui¸ca˜o.
Em boa parte das manipula¸co˜es formais, no entanto, a fun¸ca˜o delta pode ser trabalhada como uma fun¸ca˜o usual, e ser´a este o enfoque deste cap´ıtulo.
As demonstra¸co˜es de que tais resultados s˜ao matematicamente rigorosos ´e objeto da Teoria das Distribui¸co˜es, que n˜ao ser´a abordada aqui [2, 3, 4, 5].

1
1.1

Fun¸c˜ ao delta de Dirac
Defini¸
c˜ ao A “fun¸ca˜o” delta de Dirac ´e definida por meio das seguintes propriedades: δ(x) =

0, se x = 0,
∞, se x = 0,

(1)

∞

δ(x)dx = 1,
−∞

1

(2)

onde −∞ < x < ∞ ´e um real. N˜ao se define a “fun¸ca˜o” delta para argumentos complexos.
A “fun¸ca˜o” delta definida em (1)-(2) ´e aplicada em x = 0. Podemos generalizar para o caso em que ´e aplicada em x = a: δ(x − a) =

0, se x = a,
∞, se x = a,

(3)

∞
−∞

δ(x − a)dx = 1,

(4)

A rigor δ(x) n˜ao ´e uma fun¸ca˜o, e sim o que chamamos de distribui¸ca˜o, ou fun¸ca˜o generalizada. Por exemplo, se δ(0) ´e igual a infinito, se interpretarmos a integral em (2) no sentido de Riemann - como o limite de uma soma chegar´ıamos a um resultado tamb´em infinito, ao inv´es de ser igual a um. No entanto, para muitas aplica¸co˜es δ(x) obedece `as