Decomposição LU

Páginas: 5 (1152 palavras) Publicado: 9 de abril de 2014





Índice:
Introdução...............................................................................................................1
Objetivos,...............................................................................................................1
Definições. ............................................................................................................2Demonstração... .....................................................................................................2
Eliminação de Gaus .................................................................................................3
Aplicações................................................................................................................5Bibliografia..............................................................................................................6






















Introdução
O livro chinês “Nove Capítulo de Artes Matemática”, fez a primeira versão da descomposição Lu, em torno de 200 a.C. Porém, foi utilizado novamente apenas ano de 1801 por Carl Friedich Gauss que utilizou o método para calcular a órbita do asteroide Ceres compouquíssimas informações. E somente então com Willian Jordan (engenheiro alemão) foi popularizadoem 1888 quando publicou-o no seu livro de geodésica.
Porém, Alan Turing, lógico e matemático britânico (precursor do computador), foi o primeiro a receber os créditos pelo seu trabalho de 1948 nesse assunto.
Um conjunto de programas Fortran chamada LINPAC, que são uma referencia para muitos algoritmoscomputacionais de hoje e somente foram possíveis através do desenvolvimento de rotinas de computacionais para inverter matrizes e resolver sistemas de equações lineares através de um financiamento ao final dos anos 1970 pela Fundação Nacional de Ciências e o Departamento de Energia dos EUA. As rotinas LIMPAC estão organizadas em torno de quatro fatorações de matrizes, uma das quais é a decomposiçãoLU.


Objetivos

O principal objetivo de um sistema de decomposição LU é resolver um Sistema de equações lineares do tipo:
Onde:
aij ,i = 1,2,...,m e j=1,2,...,n coeficientes,bi, i = 1,2,...,m constantes,
xj, j=1,2,...,n incógnitas.


Além disso, o sistema (1.1) pode ter.
Maior número de equações do que incógnitas (m > n);
Maior número de incógnitas do que equações (m < n);
Maior número de incógnitas e equações (m = n).
Desse modo, o sistema (1.1) pode ter soluções únicas, infinitasou não existentes.










Definições

i. Em álgebra linear, a decomposição LU  é uma forma de fatoração de uma matriz não singular como o produto de uma matriz triangular inferior (lower) e uma matriz triangular superior (upper).
ii. Sendo A uma matriz não singular 
A=L.U
Onde. L = matrizes inferiores
 e U = matrizes inferiores e superiores triangularesPara matrizes  , assim:


A decomposição PLU tem esta forma: A= P.L.U ou seja,  P.A=L.U 
Onde, P = Permutação

Demonstração
Podemos reescrever a equação AX=B como AX–B=0.
Assim, ao aplicar a eliminação de Gauss, o sistema pode ser reescrito como uma matriz triangular superior na forma:

Ou pode ser reescrita algébricamente da forma: UX–D= 0
Supondo que exista uma matrizcomposta somente pela formula triangular inferior, de tal forma que: .
Dessa maneira, o processo de decomposição LU consiste em decompor em duas matrizes a matriz dos coeficientes A, onde a primeira está na forma triangular inferior (Low), e a segunda na forma triangula superior (Upper). Sendo assim, para L e U, temos que L[UX−D ]= AX–B = 0
Isolando então os termos dependentes de X , obtemos...
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