Decomposição em lu

Páginas: 5 (1054 palavras) Publicado: 4 de junho de 2013
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Ouro Preto – UFOP Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas Campus João Monlevade

Bianca Xavier Rezende Fernando Dias Guilherme Soares Berganholi Izamara Amancio de Araujo Thales Martins Ponciano

Decomposição LU

Descrevi-se o processo computacional para resolução de sistemas lineares pelo método de Decomposição LU, bem como a história dométodo, introdução e conclusão do trabalho.

João Monlevade 2012

Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas – DECEA Rua 37, nº 115 - Bairro Loanda - CEP: 35.930-970 - João Monlevade /MG – Brasil - Telefax: (0xx31) 3852-8709 Homepage ; www.ufop.br - email: secretaria@decea.ufop.br

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Introdução
O processo de decomposição para solução de sistemas, consiste em fatorar a matriz A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver uma sequencia de sistemas lineares que nos conduzirá à solução do sistema linear original. A vantagem dos processos de fatoração (ou decomposição) é que podemos resolver qualquer sistema linear quetenha A como matriz dos coeficientes. A fatoração LU é um dos processos mais empregados. Nesta fatoração a matriz L é triangular inferior com diagonal unitária e a matriz U é triangular superior. Ou seja, a matriz A dos coeficientes é decomposta como produto de duas matrizes L e U, sendo portanto A = L.U. (RUGGIERO, Márcia A. Gomes, Cálculo Numérico – 2ª Edição).

1

0 1 -m32

0 0 1

a11 0 0a21 a22 0

a13 a23 a33
O significado de L e U vem do inglês sendo, L de lower, por se tratar de uma matriz triangular inferior e, U de upper, da matriz triangular superior. (fonte: Wikipédia)

A=

-m21 -m31

L
História

U

Uma versão inicial do método de eliminação de Gauss apareceu pela primeira vez no livro chinês “Nove Capítulo de Artes Matemática”, em torno de 200 a.C. Atéentão o poder do método não tinha sido reconhecido. No ano de 1801 Carl Friedich Gauss utilizou o método para calcular a órbita do asteroide Ceres com pouquíssimas informações O trabalho de Gauss causou sensação quando Ceres reapareceu na constelação de virgem, local aproximado aos seus cálculos, mas o método só foi popularizado em 1888, por Willian Jordan (engenheiro alemão) Embora as ideias tenhamsido conhecidas antes, muitas vezes o credito pela popularização da decomposição LU é atribuída ao lógico e matemático britânico Alan Turing (precursor do computador), pelo seu trabalho de 1948 nesse assunto. Ao final dos anos 1970, a Fundação Nacional de Ciências e o Departamento de Energia dos EUA financiaram o desenvolvimento de rotinas de computacionais para inverter matrizes e resolver sistemasde equações lineares. Aquele pesquisa levou a um conjunto de programas Fortran chamada LINPAC que são uma referencia para muitos algoritmos computacionais de hoje. Inclusive o chamado MATLAB. As rotinas LIMPAC estão organizadas em torno de quatro fatorações de matrizes, uma das quais é a decomposição LU. (ANTON, H. & Busby. Álgebra Linear
Contemporânea. Editora Bookman. 2006)

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Processo prático
Utilizando o método de Decomposição LU pararesolver o seguinte sistema. 4x+y-2z=1 2x+3y+2z=2 3x+2y-4z=3 O sistema pode ser representado matricialmente por Ax = b: A= 4 2 3 B= 1 2 3 1 3 2 -2 2 -4 x y z

Linhas L1 L2 L3 L2 L3 L3 L= 1 0.5 0 1 0 0 1

Multiplicadores M21=0,5 M31= 0,75 M32=0.5

Coeficientes 4 1 -2 2 3 2 3 2 -4 0 2.5 3 0 2.75 -5.5 0 0 -4

Transformações

L2+M31.L1 L3+M31.L1 L3+M32.L1

0.75 0.5 U= 4 0 0 1 2.5 0 -2...
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