Cônicas - Elipse, Hipérbole e Parábola

Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO
Setor de Ciências Exatas e Tecnologia – SEET/G

Cônicas: Parábola, Elipse e Hipérbole

Trabalho entregue ao professor, na disciplina de Geometria Analítica, para obtenção de nota parcial do 1º semestre.

Guarapuava – PR
Junho/2012
1. Cônicas – Introdução
As cônicas são curvas geradas a partir da intersecção de um plano que corta um cone. Existem três tipos de cortes, baseado nos estudos do grego Apolônio (225 A.C.), que os nomeou de elipse, parábola e hipérbole.
Inspirado nos estudos de Apolônio, Pierre de Fermat (1601-1665) estabeleceu o princípio fundamental da Geometria Analítica, segundo o qual uma equação do 1º grau representa, no plano cartesiano, uma reta e uma do 2º grau representa uma cônica.

2. Parábola

2.1 Definição e equação reduzida
A parábola é a representação de um plano que corta um dos ramos do cone, paralelo à geratriz. Considerando, em um plano qualquer, um ponto F (foco) e uma reta d que não contém F (diretriz), denominamos os pontos que equidistam de d e F, uma parábola. Conforme a figura a seguir:

Para definirmos a equação de uma parábola de um modo mais simples possível, devemos deixar o eixo x perpendicular a diretriz, contendo o foco. Conforme a figura a seguir:

Sendo p a distância orientada OF, o foco o ponto F (p,0), a diretriz será a reta de equação . Um ponto P (equidistante de F e a diretriz). Se Q (-p, y) é pertencente à perpendicular da diretriz com P, então P estará na parábola se e somente se
.
Como e , então .
Simplificando a equação, temos:

Se trocarmos os eixos entre si chegaremos a seguinte equação:

Chegando a seguinte representação gráfica:

2.2 Equação paramétrica

As equações cartesianas canônicas das parábolas se caracterizam por apresentar uma das variáveis no primeiro grau. Isso permite expressar essa variável como dependente da variável do