cálculo

Universidade de Bras´ ılia Departamento de Matem´tica a C´lculo 1 a Lista de Fixa¸˜o – Semana 15 ca Temas abordados: Integra¸˜o por fra¸oes parciais; Comprimento de arco ca c˜
Se¸˜es do livro: 8.4; 6.3 co 1) Calcule cada uma das integrais abaixo.
∫
1
(a)
dx
1 − x2
∫
x
(c)
dx
2 − 2x − 3 x ∫
1
(e) dx 2 − 1)2
(x
∫ ex (g) dx e2x + 3ex + 2
∫
1 dx (i)
3−x
x
∫ 3 x + 5x2 − 4x − 20
(k)
dx x2 + 3x − 10

∫
(b)
∫
(d)
∫
(f)
∫
(h)
∫
(j)
∫
(l)

x+4 dx + 5x − 6 x3 dx x2 + 2x + 1
1
dx
(x + 1)(x2 + 1) cos(x) dx sen2 (x) + sen(x) − 6
2x + 3 dx 2 (4x + 1) x x2

x2 dx x2 − x − 6

2) Se f : [a, b] → R ´ uma fun¸˜o deriv´vel ent˜o o comprimento da curva determinada pelo e ca a a
∫b√
gr´fico de f ´ dado pela integral L = a 1 + f ′ (x)2 dx. Calcule esse comprimento em a e cada um dos casos abaixo.
1
(a) f (x) = (ex + e−x ), para x ∈ [0, 2]
2
1
(b) f (x) = (x2 + 2)3/2 , para x ∈ [0, 3]
3
√
(c) f (x) = 1 − x2 , para x ∈ [−1/2, 1/2]
3) Seja C uma curva no plano definida, parametricamente, por (x(t), y(t)), com a ≤ t ≤ b.
Suponha que x′ e y ′ s˜o fun¸oes cont´ a c˜ ınuas que n˜o se anulam simultaneamente em [a, b] a e que a curva C ´ percorrida exatamente uma vez quando t avan¸a de t = a para t = b. e c
Nessas condi¸oes, o comprimento de C ´ dado pela integral definida c˜ e
∫ b√ x′ (t)2 + y ′ (t)2 dt.
L=
a

Calcule esse comprimento em cada um dos casos abaixo.
(a) x(t) = r cos(t), y(t) = r sen(t), para 0 ≤ t ≤ 2π e r > 0
(b) x(t) = cos3 (t), y(t) = sen3 (t), para 0 ≤ t ≤ 2π
(c) x(t) = et − t, y(t) = 4et/2 , para 0 ≤ t ≤ 3
√
3
(d) x(t) = t3 , y(t) = t2 , para 0 ≤ t ≤ 3
2

Lista de Fixa¸ao da Semana 15 - P´gina 1 de 2 c˜ a

RESPOSTAS
1) Em todos os itens abaixo K ∈ R ´ uma constante de integra¸˜o. e ca
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)

1
1+x
ln
+K
2
1−x
5
2
ln |x − 1| + ln |x + 6| + K
7
7
1
3 ln |x − 3| + ln |x + 1| + K
4