cálculo

Dada à equação

y’’ + P(x) y’ + Q(x) y = 0

um ponto x0 é dito ponto singular regular se tanto (x − x0) p(x) quanto (x − x0 )² q(x) forem analíticos em x0. Caso contrário, x0 é chamado ponto singular irregular.

Se x0 é um ponto singular regular de y’’ + P y’ + Q y = 0, então a equação indicial para este ponto é :

r(r − 1) + p0r + q0 = 0,

onde p0 = lim (x − x0) p(x) e q0 = lim (x − x0)² q(x). x→x 0 x→x0

As raízes da equação indicial são chamadas de expoentes (ou índices) da equação na singularidade x0.

O Método de Frobenius para uma equação com ponto singular regular, consiste em procurar solução na forma:

Podemos sempre supor

Basta escolher como o menor expoente de que aparece na série solução. Se é o menor expoente presente, o coeficiente de é não nulo. A partir daqui vamos considerar sempre . O caso geral pode ser sempre reduzido a este pela mudança de variável .
CASO I: As raízes da equação indicial são distintas e não diferem de um inteiro.
CASO II: As raízes são iguais.
CASO III: As raízes diferem de um inteiro

Exemplo 1.
Substituímos
onde

Note que na derivada,

o índice obrigatoriamente começa a variar a partir de , e não a partir de , pois como o primeiro termo de em geral não é uma constante, este não se anula por derivação. Não temos aqui a liberdade de escolha de começar, conforme a conveniência, a partir de ou de , que tínhamos no método de resolução por série de potências em um ponto ordinário. A mesma observação vale para a derivada de segunda ordem

Substituindo , e por suas expansões em série na equação diferencial dada, obtemos

Agrupando os termos em , obtemos

Fazendo no segundo somatório,

No segundo somatório podemos substituir por qualquer letra, inclusive . Separamos os dois primeiros termos do primeiro somatório e combinamos os 2 somatórios restantes

Se quisermos obter uma série de