Cálculo vetorial e geometria analítica

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA36

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 4
PRODUTOS

Nos

capítulos

anteriores

geométricas também

os

conceitos

chamadas de

foram

introduzidos

Espaços Vetorias:

para

o Plano

duas

regiões

Geométrico,

representado pelo ℜ2 (sistema de coordenadas cartesianas no plano) e o Espaço
Geométrico, representado pelo ℜ3 (sistema de coordenadas cartesianas no espaço).
No entanto, os próximos conceitos que serão introduzidos só tem significado geométrico para vetores no Espaço (ℜ3). Apesar de alguns serem válidos também para vetores no plano, mas nem todos. Portanto, no que segue estaremos considerando somente vetores no espaço. Oportunamente, quando for o caso, voltaremos a considerar os vetores definidos no plano geométrico.

1 Produto Escalar

Definição: Sejam os vetores u e v . O produto escalar entre esses vetores, denotado por u ⋅ v , é um número real determinado por u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅ cos θ , onde 0 ≤ θ ≤ π é o ângulo entre u e v .

Propriedades
1) u ⋅ v = 0 se, e somente se, um deles for o vetor nulo ou se u e v são ortogonais, ou seja, θ = 90o.
2) Comutativa: u ⋅ v = v ⋅ u
3) u ⋅ u = | u |2
4) (mu) ⋅ (nv) = (m ⋅ n) ⋅ (u ⋅ v), ∀m, n ∈ ℜ
5) (u + v) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w

1.1 Expressão Cartesiana do Produto Escalar
Sejam u = x1 i + y1 j + z1k e v = x2 i + y2 j + z2k , dois vetores do ℜ3. Por definição temos: u ⋅ v = | u | ⋅ | v | ⋅ cos θ . Pela lei dos co-senos temos:

cos θ =

| u + v |2 − | u |2 − | v |2
. Substituindo, temos:
2 | u || v |

37

u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅

| u + v |2 − | u |2 − | v |2
| u + v |2 − | u |2 − | v |2
⇒ u⋅v =
⇒
2 | u || v |
2

u⋅v =

2
2
2
(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 + (z1 + z2 )2 − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 )
2
2
2⇒
2

u⋅v =

2
2
2
2
2
2
(x1 + 2x1x2 + x2 ) + (y1 + 2y1y2 + y2 ) + (z1 + 2z1z2 + z2 ) − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 )
2
2
2
2
2
2
2

u⋅v =

2
2
2
2
2