Cálculo do volume de sólidos de revolução

Sólido de revolução é a figura tridimensional obtida pela rotação de uma superfície em torno de um eixo.

Os sólidos de revolução que nos interessam são obtidos de superfícies definidas por funções em um intervalo, através da rotação de y = f(x) em torno do eixo ox, ou em torno do eixo oy. Analogamente ao processo de encontrar área entre curvas no plano e a medida da superfície de sólidos de revolução (agora queremos seu volume) vamos fazer aproximações primeiro dividindo o intervalo [a,b] em n subintervalos [xi-1, xi] e calcular o volume do cilindro formado nesse subintervalo, como sugere a figura abaixo:

Vamos considerar primeiro, o caso da rotação de y = f(x) em torno do eixo ox.
Façamos a = x0 e b = xn.
Cada subintervalo tem largura .
Para o raio de cada cilindro podemos escolher qualquer um de seus pontos, por exemplo xi. E assim r = f(xi).
O volume de um cilindro é calculado pelo produto da área da base, círculo de raio r, pela altura h.
Então o volume é dado por: Para cada cilindro Vi definido pelo intervalo [xi-1, xi] tem raio r = f(xi) e altura .
Assim o volume de cada cilindro é: .
O volume aproximado da superfície que queremos é a soma dos n Vi assim formados. Sabemos que quanto maior o n, ou menor o mais próximo o somatório estará do volume real desejado. E assim se fizermos , ou o que é equivalente, , teremos o valor exato que queremos, ou seja, o limite do somatório mostrado abaixo: Pelo Teorema Fundamental do Cálculo relacionamos o limite anterior com a integral definida: Exemplo 1: A figura anterior é gerada pela rotação da curva y = cosx + 2 em torno do eixo ox no intervalo . Vamos calcular o seu volume:

Exemplo 2: Calcular o volume do sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo ox da superfície definida pela função y = x2 + 3 no intervalo .
A função é continua (necessária para o Teorema Fundamental do Cálculo) e positiva no intervalo .

O volume