Cálculo 2 máximos e mínimos

Cálculo II
Capítulo 8. Máximos e Mínimos.

Um dos principais usos de derivadas ordinárias é determinar os pontos de máximo e mínimo de funções de 1 variável. Veremos agora como achar os pontos de máximo e mínimo de uma função de 2 variáveis.

Definição. Uma função de 2 variáveis tem um máximo local em ( , ) se:
( , ) ≤ ( , ), ( , ) ≈ ( , ).

Note. Denotamos acima ( , ) ≈ ( , ) para indicar que o ponto ( , ) está próximo a ( , ), ou seja, está em algum disco centrado em ( , ).
Note. O número ( , ) é chamado de valor máximo local.

Note. Se ( , ) ≥ ( , ), ( , ) ≈ ( , ), então ( , ) é um valor mínimo local.

Teorema. Se tem um valor máximo ou mínimo local em ( , ) e as derivadas parciais de 1ª ordem
, existem em ( , ), então ( , ) = 0 e ( , ) = 0.

Note. Tome = e defina ( ) ≡ ( , ). Se tem um valor máximo ou mínimo local em ( , ), então tem um valor máximo ou mínimo local em ( ), portanto ( ) = 0 pelo teorema de Fermat. Mas
( ) = ( , ), logo ( ) = 0 ⇒
( , ) = 0. Similarmente, obtemos que ( , ) = 0.
Note. Podemos expressar a conclusão do teorema acima como ∇ ( , ) = 0.

Note. Se ( , ) = 0 e ( , ) = 0, então a equação do plano tangente ao gráfico de em ( , ) se torna simplesmente = , ou seja, o plano tangente ao gráfico de é um horizontal em um ponto de máximo ou mínimo local.

A fim de determinar se tem um extremo num ponto crítico, temos, analogamente ao teste da 2ª derivada para funções de 1 variável:

Teste da 2ª derivada.
Suponha que as derivadas parciais de 2ª ordem de sejam contínuas em um disco com centro em
( , ). Suponha também que ( , ) = ( , ) = 0 (ou seja, ( , ) é um ponto crítico de ). Então,
( , )=
a) s e
b) se
c) se

(,)

( , )−

( , )=

( , ) > 0, ( , ) é um mínimo local;
>0 e
( , ) < 0, ( , ) é um máximo local;
>0 e
< 0, ( , ) não é nem um mínimo nem um máximo local (é um ponto de sela).
( , ) por

Note. Acima, podemos substituir

Note. Em um ponto de sela, o gráfico de

( , ).

cruza o plano