Curvas de nivel

Mapas de contorno e curvas de nível Suponha que f(x,y) é uma função de duas variáveis x e y. Se c é algum valor da função f, então a equação f(x,y) = c descreve uma curva situada no plano z = c chamada de traço do gráfico de f no plano z = c. Se este traço for projetado no plano xy, a curva resultante no plano xy é chamada de curva de nível (ou curva de perfil). Desenhando as curvas de nível correspondentes, a vários valores de c, obtemos um mapa de contornos.

Curvas de nível de funções de duas variáveis aparecem em várias aplicações práticas. 1) Se f(x,y) denota temperatura em um ponto de uma localidade com longitude x e latitude y em um certo horário do dia, então a temperatura no ponto (x,y) é dada pela “altura” da superfície representada por z = f(x,y). Nesta situação a curva de nível f(x,y) = k é uma curva superposta ao mapa dessa localidade, conectando pontos possuindo a mesma temperatura em um certo instante de tempo. Estas curvas de nível são chamadas de isotermas. 2) Se f(x,y) fornece a pressão barométrica no ponto (x,y), então as curvas de nível da função f são chamadas isobáricas, quer dizer, linhas conectando pontos tendo a mesma pressão barométrica num mesmo instante de tempo. 3) Se a quantidade dos fatores seja dada por x e y, a produtividade seja dada por z = f(x,y). Tal função é chamada função de produção e as curvas de nível de f, com equações da forma f(x,y) = k, em que k é constante, são chamadas curvas de produção constante. 4) Suponha que P(x,y,z) seja uma função de três variáveis x, y e z fornecendo o lucro obtido pela produção e venda de x, y e z unidades de três produtos A, B e C, respectivamente. Neste caso, a equação P(x,y,z) = k, em que k é constante, representa uma superfície no espaço tridimensional chamada de superfície de nível de P. Nesta situação, a superfície de nível representada por P(x,y,z) = k representa a mescla de produtos que resulta em um lucro de exatamente k reais. Tal superfície de nível é chamada de superfície de