Curso básico de mecânica dos fluidos

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Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

1.12.3 Exercícios resolvidos
1.12.3.1 Para o mecanismo representado a seguir, pede-se determinar:
a) A Lei de variação da tensão de cisalhamento em função do raio (R), da velocidade angular constante (ω ) e da espessura da película do fluido lubrificante ( δ );
b) o momento total (MT) que deve ser aplicado ao conjunto para que o mesmo gire com uma velocidade angular constante ( ω );
Dados:

ϕ ; R ; δ ; ω ; µ no S.I.; assumir perfil linear de velocidades

Solução:
Pela simplificação prática da Lei de Newton da viscosidade, temos:

τ=µ

v ε e isto tanto vale para o topo, quanto para a lateral, portanto:

τ Topo = µ

ω r δ

e

τ Lateral = µ

ω r δ

A partir deste ponto, pelo fato de ω = constante, sabemos que MT = MRT , onde:

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MRT = MRT Topo + MR lateral
Devemos notar que neste exercício, tanto a tensão de cisalhamento, como a área de contato são função do raio, o que implica dizer que o momento resistente também o será, o que nos obriga a trabalhar de forma diferencial, portanto:
Topo:

d MRtopo =dFTopo ×r =τTopo ×dAopo ×r µ T

ω r 2πr dr × r δ R2 πωµ 3 dMRtopo = ∫ r dr
∫
0 δ R
2πωµ 3
2πωµ R4
MRtopo = r dr = δ∫ δ4
0

dMRtopo = µ

πωµR4
∴MRtopo =
2δ
Lateral:

d M RLat = dFµL × r = τL × d A Lat . × r d M RLat = µ

ω r dA L × r δ 75

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dAL = ? dAL = 2 π r dx , onde:

x=

R

R sen ϕ

∴dx =

dr sen α

e dA L = 2πr

ϕ

ω d r 2π r R × r δ sen ϕ
2π ω µ 3
=
r dr δ sen ϕ

d M RL = µ d M RL
M RL

2π ω µ
=
δ sen ϕ

R

∫r

3

dr

0

π ω µ R4 π ω µ R4
∴ MT =
+
2δ
2 δ senϕ π ω µ R4
1
MT =
⋅(1+
)
2δ
sen ϕ

∴ M RL

π ω µ R4
=
2 δ senϕ

dr sen ϕ

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1.12.3.2 Na figura, vê-se uma placa plana de área 1 m² que desliza sobre um plano inclinado de 30° com a