Crescimento Tumoral Gabriel Couceiro Figueiredo

Páginas: 5 (1142 palavras) Publicado: 4 de maio de 2015
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CAMPUS SERRA


GABRIEL COUCEIRO FIGUEIREDO






EFEITO CORONA










SERRA
2015
GABRIEL COUCEIRO FIGUEIREDO










EFEITO CORONA





Trabalho apresentado na disciplina de Eletromagnetismo do curso de Engenharia de Controle e Automação, ministrada pelo professor André Candeia.



SERRA
2015
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 4
1.1 Equações DiferenciaisAutônomas 4
2 CRESCIMENTO TUMORAL 6
3 CASO 7
4 CONCLUSÃO 8
REFERÊNCIA 9
1 INTRODUÇÃO

Quando o material genético sofre mutações que afetam o controle de divisão das células, essas começam a proliferar anormalmente. Esse desequilíbrio é denominado câncer. A massa celular resultante é chamada de tumor.
A taxa de crescimento de um tumor é expressa pelo tempode duplicação de seu volume. À medida que o volume do tumor aumenta, ocorre uma diminuição do percentual de células em proliferação e um aumento da taxa de morte celular no tumor maligno. A rápida proliferação segue um padrão contínuo, porém mais lento, e pode ser representada pele função de Gompertz: crescimento exponencial, seguido por uma diminuição uniforme progressiva do percentual de célulasem proliferação.


1.1 Equações Diferenciais Autônomas
O estudo da dinâmica de populações envolve o estudo de equações diferenciais autônomas, ou seja, equações cuja variável independente não aparece explicitamente. Essas equações são do tipo:
dy/dt = f(y)
Equações autônomas são úteis para determinar o crescimento ou declínio populacional de uma dada espécie e os seus pontos críticos,localizados nos zeros de f(y). Nestes pontos, dy/dt=0 , ou seja, a taxa de variação da população se anula. Assim, se a população, em algum momento, atinge algum dos valores críticos, a partir daí ela permanecerá constante. Dizemos que a população atingiu o equilíbrio.
Digamos que y = y(t) representa a população de uma determinada espécie em um determinado instante de tempo t. Em uma primeiraaproximação, vamos supor que a taxa de variação de y é proporcional ao valor atual de y. Podemos representar essa hipótese em uma equação diferencial.
dy/dt = ry;
(r representa a taxa de crescimento)
(1/y) dy = r dt
∫ (1/y) dy = r ∫ dt
ln(y) = (rt + c1)
e ^ (ln(y)) = e ^ (rt + c1)
y(t) = e ^ (rt + c1)
Fazendo y(to) = yo
yo = e ^ (rto + c1)
yo = e ^ (rto) ∙ e ^ (c1)
yo / e ^ (rto) = e ^ (c1)
ln(yo / e ^(rto)) = ln(e ^ (c1))
ln(yo / e ^ (rto)) = c1
Substituindo em y(t) = e ^ (rt + c1), temos:
y(t) = e ^ (rt + ln(yo / e ^ (rto)))
y(t) = e ^ (rt) ∙ e ^ (ln(yo) – ln( e ^ (rto)))
y(t) = e ^ (rt) ∙ e ^ (ln(yo)) ∙ e ^ – (ln( e ^ (rto)))
y(t) = e ^ (rt) ∙ yo ∙ e ^ (– rto)
y(t) = yo ∙ e ^ r(t-to)

A figura abaixo mostra o gráfico dessa solução para diferentes valores de y0.


FIGURA 1 – GRÁFICO COM VÁRIOSVALORES INICIAIS


2 CRESCIMENTO TUMORAL
Cientistas observaram que a equação
dV/dt = λV
(λ:constante de crescimento celular)
descreve o volume de células livres em função do tempo. Resolvendo:
dV/dt = λV
(1/V) dV = λ dt
∫ (1/V) dV = λ ∫ dt
ln(V) = (λt + c1)
e ^ (ln(V)) = e ^ (λt + c1)
V(t) = e ^ (λt + c1)
Fazendo V(to) = Vo
Vo = e ^ (λto + c1)
Vo = e ^ (λto) ∙ e ^ (c1)
Vo / e ^ (λto) = e ^(c1)
ln(Vo / e ^ (λto)) = ln(e ^ (c1))
ln(Vo / e ^ (λto)) = c1
Substituindo em V(t) = e ^ (λt + c1), temos:
V(t) = e ^ (λt + ln(Vo / e ^ (λto)))
V(t) = e ^ (λt) ∙ e ^ (ln(Vo) – ln( e ^ (λto)))
V(t) = e ^ (λt) ∙ e ^ (ln(Vo)) ∙ e ^ – (ln( e ^ (λto)))
V(t) = e ^ (λt) ∙ Vo ∙ e ^ (– λto)
V(t) = Vo ∙ e ^ λ(t-to) (1)
A partir dessas equações determinamos o tempo que as células livres levam para seduplicar.
V(t) = 2Vo
2Vo = Vo ∙ e ^ λ(t-to)
2 = e ^ λ(t-to)
2 = e ^ λ ∙ e ^ (t-to)
2 / (e ^ λ) = e ^ (t-to)
ln(2 / (e ^ λ)) = ln(e ^ (t-to))
ln(2 / (e ^ λ)) = (t-to)
ln(2) / λ = (t-to)
∆t = ln(2) / λ
Entretanto, a equação anterior não descrevia o crescimento dos tumores devido à uma taxa de retardo de crescimento tumoral. Tendo isso em foco, os cientistas chegaram à fórmula:
V(t) = Vo ∙ e ^...
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