Corrente e densidade eletrica

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
Instituto de Saúde e Biotecnologia – ISB/Coari
CURSO DE CIÊNCIAS: MATEMÁTICA E FÍSICA
SEXTA LISTA DE GEOMETRIA DIFERENCIAL
01. Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada.
a) F(u,v) = (u,v, + ), (u,v)
b) F(u,v) = (1,u,v), 0 u 1 e 0 v 1
d) F(u,V) = (u, √
, v), +
1.
02. Parametrize o conjunto dado:
a) {(x,y,z) e ; + 4 = 1}
b) {(x,y,z) e ; 2x + y + 4z = 5}
c) Conjunto obtido pela rotação em torno do eixo z da curva y = 0 e z =

, x > 0.

03. Determine o plano tangente à superfície dada, no ponto dado.
a) F(u,v) = (u,v, + ), no ponto F(1,1)
b) F(u,v) = (cosu,senu,v), no ponto F(
).
04. Seja F: U
, uma superfície de classe C1 e seja h: I U uma curva de classe C1, com h(t) = (u(t),v(t)). Seja T: I Im(F) a curva dada por T(t) = F(h(t)). Prove que (h(t)) x
(t).
05. Seja F: U x= ⃗+

(h(t)) é ortogonal a

uma superfície de classe C1 dada por F(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)). Verifique que
⃗⃗.
⃗+

06. Calcule a área das superfícies abaixo:
a) F(u,v) = (u,v,1 – u – v), u 0, v 0 e u + v
b) F(u,v) = (u,v, + ), +
4.
c) F(u,v) = (cosu,v,senu),
+4
1.

1.

07. Seja f: K de classe C1 no compacto K com fronteira de conteúdo nulo e interior vazio. Mostre que a área da superfície z = f(x,y)(isto é, da superfície F dada por x = u, y = v, z = f(u,v)) é dada pela formula
∬√

()

( ) dxdy.

08. Sejam F: U e G: V duas superfícies regulares nos abertos U e V,respectivamente.
Suponha que exista uma transformação H: U V, com H(U) = V, dada por H(u,v) = (u(s,t),v(s,t)), (s,t) V sendo H de classe C1, inversivel e tal que, para todo (s,t) V, G(s,t) = F(u(s,t),v(s,t)). Dizemos, então, que G é obtida de F pela mudança de parâmetro (u,v) = H(s,t). Suponha, então, que G seja obtida de F pela mudança de parâmetros (u,v) = H(s,t) = (u(s,t),v(s,t)). Prove que X = (
)
.
09. Seja F(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v)
∬ √(

)

(

)

(

K. Mostre que a área de F pode ser expressa pela