continuidade

Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Carlos - 2014

CONTINUIDADE
Definimos uma função contínua como aquela cujo gráfico é uma curva nãointerrompida, sem buracos ou saltos. Nem todas as funções têm essa propriedade, mas aquelas que têm possuem características especiais que as tornam extremamente importantes no desenvolvimento do cálculo.
Definição: Uma função f é contínua em x o se lim f(x)  f(x o ) . x x o

Observe que a definição acima implicitamente requer três coisas para a continuidade em x o :
(a) f(x o ) está definida.
(b) lim f(x) existe x x o

(c) lim f(x)  f(x o ) x x o

Ao utilizar esta definição para mostrar que uma função f é contínua em x o, basta verificar a terceira condição, porque se lim f(x)  f(x o ) , então f(x o ) deve estar definida e x x o

também lim f(x) deve existir; ou seja, as duas primeiras condições estão satisfeitas x x o

automaticamente.
Se f(x ) não é contínua em c, diz-se que há uma descontinuidade nesse ponto.
A figura abaixo mostra os gráficos de três funções que tem descontinuidade em

x  x0 .

f não está definida em xo

f não tem limite quando x tende a xo

lim f ( x)  f ( xo )

x  xo

TEOREMA. Se f e g são contínuas em xo, então são também contínuas em xo:
a) a soma f + g
b) a diferença f – g
c) o produto f.g
1

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d) o quociente f/g, desde que g(xo) ≠ 0

Exemplos:
1) Mostre que o polinômio f(x)  3x 3  x  5 é contínuo em x  1
(i)

f(1)  7

(ii)

lim f(x)  lim 3x 3  x  5  7

(iii)

lim f(x)  f(1) , portanto a função é contínua no ponto (1, 7)

x 1

x 1

x 1

2) A função f(x) = 3x – 7 é contínua em x = 5

lim f(x)  lim (3x  7)  8  f(5) x 5

x 5

3) A função f(x)  x 2  x  1 é contínua em x = 4 lim f(x)  lim (x 2  x  1)  15  f(4) x 4

x 4

1 , se x  0
4) A função f(x)   não é contínua em x = 0, pois
 1 , se x  0

lim f(x)  1 e lim f(x)  1