Construções Geométricas

Teorema da Aproximação de Weierstrass
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matemática-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais

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14 de julho de 2010

Teorema 1. Seja f : [ a, b] → R uma função contínua. Para todo p(t) tal que | f (t) − p(t)| < , para todo t ∈ [ a, b].

> 0, existe um polinômio

1
Demonstração. Seja t = (1 − x ) a + xb. Então x =
(t − a) e t ∈ [a, b] se, e somente b−a se, x ∈ [0, 1]. Seja f˜ : [0, 1] → R definida por f˜( x ) = f ((1 − x ) a + xb). Seja
˜
p( x) =

n

∑ k =0

k n k f˜( ) x (1 − x ) n − k n k

e

˜ p(t) = p

1
(t − a) . b−a Este polinômio é chamado de polinômio de Bernstein.
Vamos usar o fato de que

∑ k∈ A

n n k n k n−k x (1 − x )
≤ ∑ x (1 − x )n−k = 1, k k k =0

(1)

para qualquer A ⊆ {0, 1, 2 . . . , n}.
Como f é contínua existe δ > 0 tal que

| x − y| < δ

⇒

| f˜( x) − f˜(y)| < .
2
1

(2)

Sejam b1 = x − δ e b2 = x + δ. Seja M = max | f˜( x )| = max | f (t)|. Seja n tal que x ∈[0,1]

2
4Me−2δ n

t∈[ a,b]

< . Vamos usar o seguinte fato que será demonstrado a seguir:
2

b2 ≤

k k ≤ 1 ou 0 ≤ ≤ b1 n n

k

k

2

k

k

x n (1 − x )1− n ≤ e −2( x − b ) b n (1 − b )1− n .

⇒

(3)

Então por (1), (2) e (3) temos que
˜
| f˜( x) − p( x)| =

n
˜( x ) n x k (1 − x )n−k − ∑ f˜( k ) n x k (1 − x )n−k ≤ f k n k k =0

n

∑ k =0

n

≤

k

∑ | f˜( n ) − f˜(x)|

k =0

≤
≤
≤

2

2

2

+ 2M

+ 2Me−2δ

∑

+

k
| n − x |≥δ

∑ k n ≥ b2

2n

∑ k n ≥ b2

n k x (1 − x ) n − k ≤ k k n k
| f˜( ) − f˜( x)| x (1 − x ) n − k ≤ n k

n k x (1 − x )n−k + 2M k ∑ k n ≤ b1

n k x (1 − x ) n − k ≤ k n k
2
b2 (1 − b2 )n−k + 2Me−2δ n k ∑ k n ≤ b1

n k b ( 1 − b1 ) n − k k 1

≤

Lema 2. Se 0 ≤ x < b ≤

k k ≤ 1 ou 0 ≤ ≤ b < x ≤ 1, então n n k k

2

k

k

x n (1 − x )1− n ≤ e −2(