construções geometricas

Páginas: 7 (1663 palavras) Publicado: 9 de abril de 2014
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS E DEMONSTRAÇÕES
nível 2

Prof. Élio Mega



A partir do século V aC, os matemáticos gregos desenvolveram uma parte da Matemática, intima-mente ligada à Geometria, conhecida como Construções Geométricas com Régua e Compasso. Os problemas de construções geométricas são muito interessantes e alguns deles devem ser enfrentados por quem está interessado em Geometria. Ébom saber que os gregos antigos propuseram e resolveram muitos problemas de construção difíceis, mas não conseguiram resolver, ou melhor, não conseguiram provar que não tinham solução os três problemas conhecidos, respectivamente, como
(1) a trisecção de um ângulo
(2) a duplicação de um cubo
(3) a quadratura de um círculo
consistindo em, usando apenas régua e compasso,
(1) dividir um ângulodado qualquer em três partes iguais (ou seja, em três ângulos congruentes cuja soma é o ângulo dado)
(2) construir o lado de um cubo, cujo volume é o dobro do volume de um cubo cujo lado é dado
(3) construir um quadrado cuja área é a mesma de um círculo dado
Esses problemas foram enfrentados com sucesso apenas no século XIX, com a ajuda da Álgebra. Mas isto já é outra história. Com certezavocê ainda irá ouvir bastante sobre esse assunto, em outras oportu-nidades.
Para resolver problemas de construções geométricas, além de lápis e papel, utilizam-se dois instrumentos para desenhar figuras: um compasso e uma régua (sem escala). O compasso será utilizado para desenhar circunferências e a régua, para traçar retas. Serão utilizadas apenas as seguintes operações (que se justificam pelosaxiomas da Geometria Euclidiana):

O1. Traçar uma reta por dois pontos conhecidos.
O2. Desenhar uma circunferência, dados o seu centro e o seu raio.
O3. Marcar os pontos, quando houver, de intersecção de duas linhas (duas retas, duas circunfe-rências ou uma reta e uma circunferência).

Para simplificar as construções, é comum desenharmos arcos de circunferência em vez decircunfe-rências, além de segmentos de retas e semi-retas em vez de retas. Entretanto, há situações em que essa prática pode ocultar soluções válidas de um problema, sendo necessária a devida atenção para evitar isso.
Uma construção geométrica consiste numa seqüência finita de pelo menos uma dessas opera-ções. Iremos desenvolver um procedimento adequado para descrever os passos de uma construção (como umprograma de computação). Mas o mais importante são os conceitos, idéias e teoremas geo-métricos envolvidos na resolução dos problemas. Por isso, iremos exercitar a atividade fundamental característica da Matemática: a demonstração. O fato de exibirmos uma figura desenhada não basta para afirmar que um problema foi resolvido: é preciso provar, com bases nas leis da lógica e nos fatos já conhecidos(definições, axiomas ou teoremas), que tudo o que foi feito é válido. Por isso, cada passo da construção deve ser justificado (isto é, demonstrado). Vamos ver um exemplo.


Construir um triângulo, dados dois de seus lados e o ângulo formado por eles.


Nesta primeira descrição da construção, iremos explicar detalhes que serão omitidos nas próximas.

Procedimento:
1) Transporte o segmentomaior para um lugar conveniente:
 marque um ponto num lugar conveniente da página (ponto A)
 coloque a ponta seca do compasso numa extremidade do segmento dado maior e a ponta com grafite na outra extremidade do mesmo
 sem mexer na abertura do compasso, coloque a ponta seca no ponto A e trace um pequeno arco (para a direita, por exemplo)
 marque um ponto desse arco (ponto B)
 com a régua,desenhe o segmento AB
2) Transporte o ângulo dado, de forma que seu vértice coincida com A e um de seus lados com o seg-mento AB.
 com ponta seca no vértice do ângulo dado, trace uma circunferência (arco) de raio menor do que AB; esta encontra os lados do ângulo em M e N.
 com mesmo raio, trace a circunferência (arco) com centro em A, encontrando o segmento AB em M’.
 com centro em M’,...
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