Conjuntos

Teoria dos Conjuntos

Definição
Conjunto: coleção (não ordenada) de objetos, geralmente representado por letras maiúsculas;
Ex: A = {1, 2, 3, 4}
B = {a, e, i, o, u}
Elemento: qualquer um dos componentes de um conjunto
Ex: 1, 2, 3, 4 a, e, i, o, u

2

Pertinências
Pertence ou não pertence ( ∈
•

de elemento para conjunto.

Contido ou não contido (
•

⊂

ou

de subconjunto para conjunto.

Contém e não contém
•

ou

(⊃

ou

∉ )
⊄ )
⊃ )

de conjunto para subconjunto.

3

Descrição de conjuntos
Listar elementos:
Ex: A = {1,2, 3, 4}
Enunciar propriedades:
Ex: a) B = {x: x é um inteiro e 0 < x< 5}
{x : x 2 − 3x + 2 = 0}
b) D =
c) N, Z, Q, I, R, C
Obs: Nem sempre é possível listar todos os elementos de um conjunto.
4

OBS:
N: inteiros positivos
Z: inteiros
Q: números racionais

 p Q = x ∈ R / x = para todo p, q ∈ Z  q 


a
Q =  : a ∈ Z ;b ∈ Z * 
b


I: reais não racionais
R: reais
C: Conjunto dos números complexos
*

*

Z , Z + , Z − , R ,...
5

Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.

A = B, se e somente se, (∀x, x ∈ A ↔ x ∈ B)
→
Ex: a) {1, 2} = {1, 1, 1, 2, 2, 2}
b) E = {1,2}

e

F = {x : x 2 − 3 x + 2 = 0}

6

Conjuntos Universo e Vazio
Conjunto vazio ( { } ou Ø ) não possui elementos.
{x | x ∈ Z+ , x 2 = 3}
Ex:
•

Conjunto Universo ( U ) formado por todos os elementos de um assunto trabalhado. Ex: Assunto: populações humanas
U: representa todas as pessoas do mundo
•

7

Obs:

Um conjunto unitário é um conjunto com apenas 1 elemento. ∅
Não confundir ∅ com

{ }

∅ : pasta de arquivos vazia

{∅} : pasta contendo exatamente uma pasta dentro 8

Subconjuntos e a relação de inclusão
A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B.
A⊂ B
B⊃A

(∀x, x ∈ A → x ∈ B)

1) A = { 1,2,3 } e B = { 1,2,3,4,5,6 }
2) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Teorema: Para todo conjunto A