Conceitos De Solu O De Sistemas Lineares

Conceitos de solução de sistemas lineares: método direto (exato) e método interativo
Os métodos numéricos destinados a resolver sistemas lineares são divididos em dois grupos: os métodos diretos e os métodos iterativos.
Métodos diretos
São métodos que produzem a solução exata de um sistema, a menos de erros de arredondamento, depois de um número finito de operações aritméticas. Com esses métodos é possíveldeterminar, a priori, o tempo máximo gasto para resolver um sistema, uma vez que sua complexidade é conhecida. A clássica Regra de Cramer, ensinada no ensino médio, é um método direto.
Entretanto, pode-se mostrar que o número máximo de operações aritméticas envolvidas na resolução de um sistema n × n por este método é (n + 1) (n!n − 1) + n. Assim, um computador que efetua uma operação aritmética em 10−8 segundos gastaria cerca de 36 dias para resolver um sistema de ordem n = 15.
A complexidade exponencial desse algoritmo inviabiliza sua utilização em casos práticos. O estudo de métodos mais eficientes torna-se, portanto, necessário, uma vez que, em geral, os casos práticos exigem a resolução de sistemas lineares de porte mais elevado.
Apresentaremos, a seguir, métodos mais eficientes, cuja complexidade é polinomial, para resolver sistemas lineares. Antes, porém, introduziremos uma base teórica necessária à apresentação de tais métodos.
Método de Gauss
O método de Gauss consiste em operar transformações elementares sobre as equações de um sistema Ax = b até que, depois de n−1 passos, se obtenha um sistema triangular superior, Ux = c. equivalente ao sistema dado, sistema esse que é resolvido por substituições retroativas.
A resolução deste sistema pelo método de Gauss envolve duas fases distintas. A pri- meira, chamada de fase de eliminação, consiste em transformar o sistema dado em um sistema triangular superior. A segunda, chamada de fase de substituição, consiste em resolver o sistema triangular superior através de substituições retroativas. Para aplicar a