Conceitos básicos de calculo numérico

Passo 1:

Neste capítulo são apresentados os conceitos básicos que facilitarão o entendimento dos métodos numéricos. A maioria dos conceitos aqui são de algebra linear. Assim, maiores detalhes sobre os assunto abordados podem ser encontrados em livros de algebra linear .
Espaço Vetorial
Seja E um conjunto e seja K um corpo. Suponhamos que em E esteja definida uma operação de adição: (x, y) ϵ E × E → x + y ϵ E ,ϵ e que esteja definida uma operação entre os elementos de K e os elementos de E (chamada multiplicação por escalar): (α, x) ϵ K × E ! αx ϵ E .
Então E é um K- espaço vetorial, em relação a essas operações, se tais condições forem cumpridas o conjunto será um espaço vetorial.

Seja E um K-espaço vetorial. Os vetores v1, v2, . . ., vk 2 E são linearmente dependentes sobre K, se existem escalares α1, α2, . . . , αk 2 K, nem todos nulos, tais que: α1 v1 + α2 v2 + . . . +αk vk = 0 .
Observamos que essa relação é sempre válida se os αi, i = 1, 2, . . ., k são todos iguais a zero. Nesse caso dizemos que os vetores são linearmente independentes.

Um K-espaço vetorial tem dimensão n se:
a) existem n vetores linearmente independentes;
b) (n + 1) vetores são sempre linearmente dependentes.

Qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes é chamado base de um
K-espaço vetorial de dimensão n.
Assim, qualquer vetor do espaço pode ser representado como combinação linear dos vetores da base.

Espaço Vetorial Euclidiano
Vamos definir aqui importantes noções de produto escalar e de ortogonalidade, visando introduzir, entre outras coisas o conceito de comprimento e distância.

Ortogonalidade
Seja E um espaço euclidiano real. Sejam x, y elementos de E.
Definição 1.5 - Dizemos que x é ortogonal a y, em símbolo, x ┴ y, se e somente se (x, y) = 0.
Observe que (x, Θ) = (Θ, x) = 0 qualquer que seja x, onde Θ é o vetor nulo.

Espaço Vetorial