Computação gráfica - transformações lineares

Definição
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Transformações geométricas são operações que podem ser utilizadas visando a alteração de algumas características como posição, orientação, forma ou tamanho do objeto a ser desenhado.

Matrizes
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Para executar uma transformação podemos usar operações algébricas. Operações algébricas são caras computacionalmente Por isso o uso de matrizes é mais interessante para esse objetivo As matrizes podem fazer as transformações e combinálas de forma mais eficiente. Elas também são mais eficientes na armazenagem de figuras presentes num sistema de coordenadas

Pontos, vetores e matrizes
Nos espaços bidimensionais, duas coordenadas caracterizam um ponto. Nos espaços tridimensionais, três coordenadas caracterizam um ponto.
A =[2, 3]: ponto em duas dimensões. B =[20,2,0]: ponto em três dimensões.
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Uma matriz quadrada de três dimensões pode ser usada para descrever pontos no espaço

Aritmética de vetores e matrizes
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Soma e subtração: os dois operandos devem ter a mesma dimensão Multiplicação por escalar. Transposta de uma matriz
[2,3]T = 2 3

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Multiplicação de matrizes
O número de linhas da primeira deve ser igual ao número de colunas da segunda

Transformações lineares
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São transformações aplicadas aos objetos ou ao universo como um todo. Podem ser
Translação Escala Rotação Reflexão Cisalhamento

Transformações lineares
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São transformações aplicadas aos objetos ou ao universo como um todo. Podem ser
Translação Escala Rotação Reflexão Cisalhamento

Translação
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Significa movimentar o objeto Todos os pontos do objeto devem ser movidos para a nova posição.
Um ponto p(x,y) é movido para a posição p(x’,y’). Para isso somamos Tx e Ty às coordenadas de cada ponto a ser transladado. x’ =x +Tx y’ =y +Ty Ou usando um vetor T de deslocamento. P’ =P +T  [x’ y’] =[x y] +[Tx Ty]

Translação

(11,9)

(4,5)

(7,5)

(3,-4) (14,5)

(7,1)

(10,1)

Translação
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No espaço