Como se calcula o comprimento de um segmento de curva

Como calcular o comprimento de um segmento de curva

No século XVII, poucos antes da invenção do Cálculo Diferencial e Integral, existiam muitos métodos para os problemas de quadratura (cálculo de áreas), cubatura e retificação de uma curva.
O problema de calcular o comprimento de arco de uma curva é em alguns casos, extremamente difícil, pois pode nos levar a integrais elípticas. Com a invenção do Cálculo Diferencial e Integral, este procedimento nos leva a resolução de uma integral definida em que o integrando envolve uma raiz quadrada e a derivada da função dada.
Para curvas geradas por funções do primeiro grau, basta aplicar o teorema pitagórico no intervalo desejado, que encontramos o comprimento da função rapidamente. Para as demais funções, temos que usar o Cálculo Diferencial e Integral para determinarmos o comprimento de um arco dado.
Considere a função y = f (x) contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a,
b), cujo gráfico pode ser observado abaixo:

Para determinarmos

o comprimento do arco da curva

entre os

pontos e , podemos subdividir a curva em segmentos infinitesimais de reta, que já sabemos calcular pela relação (1), onde: Conforme podemos observar na figura abaixo:

Seja o ponto onde . O comprimento total da poligonal é a soma dos comprimentos das cordas que ligam cada ponto ao próximo.
Sejam
para k = 1, 2, 3, ..., n

Assim, temos triângulos retângulos e o problema se resumiria em encontrarmos os comprimentos infinitesimais de suas hipotenusas de tamanho :

Pelo teorema pitagórico, o comprimento da k-ésima corda que denotaremos por é igual a:

Considerando f (x) contínua no intervalo [a, b] e derivável em (a, b), então f (x) é derivável no intervalo [xk-1, xk] e pelo teorema do valor médio existe , tal que:

Substituindo (3) em (2), temos:

Mas, é somente o comprimento de um segmento infinitesimal da curva.
Para o comprimento total da poligonal L, fazemos:

Quando tende ao infinito, o comprimento do subintervalo tente a zero. Assim,
seL