Classes De Recorrencia E Partição De Um Conjunto

ˆ
CLASSE DE EQUIVALENCIA
E
˜ DE UM CONJUNTO
PARTIC
¸ AO
Diego Lu´ıs
13 de setembro de 2015

Sum´ ario 1 Rela¸c˜ ao de Equivalˆ encia 3

2 Classe de Equivalˆ encia 4

3 Parti¸c˜ ao de um conjunto

5

4 Referˆ encia 7

2

1

Rela¸c˜ ao de Equivalˆ encia Defini¸c˜ ao 1 Uma rela¸c˜ao R sobre um conjunto E n˜ao vazio ´e chamado de rela¸c˜ao de equivalˆencia sobre E se, e somente se, R ´e reflexiva, sim´etrica e transitiva. Ou seja, R deve cumprir, respectivamente, as seguintes propriedades:
(i): se x ∈ E, ent˜ao xRx;
(ii): se x, y ∈ E e xRy ent˜ao yRx;
(iii): se x, y, z ∈ E, xRy e yRz ent˜ao xRz.

Exemplo 1 A rela¸c˜ao de igualdade sobre R ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia, pois: (i): ∀x ∈ R ⇒ x = x;
(ii): ∀x, y ∈ R, x = y ⇒ y = x;
(iii): ∀x, y, z ∈ R, x = y e y = z ⇒ x = z.
Exemplo 2 A rela¸c˜ao de paralelismo definida para as retas de um espa¸co
E euclidiano ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia, pois sendo x,y e z retas de E, tem-se :
(i): x//x;
(ii): x//y ⇒ y//x;
(iii): x//y e y//z ⇒ x//z.

Exemplo 3 A rela¸c˜ao de congruˆencia m´odulo m, em que m ∈ Z e m > 1, sobre Z ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia, pois:
(i): ∀x ∈ Z ⇒ x ≡ x(mod m);
(ii): ∀x, y ∈ Z, x ≡ y(mod m) ⇒ y ≡ x(mod m)
(ii): ∀x, y, z ∈ Z, x ≡ y(mod m) e y ≡ z(mod m) ⇒ x ≡ z(mod m)

3

2

Classe de Equivalˆ encia Defini¸c˜ ao 2 Seja R uma rela¸c˜ao de equivalˆencia sobre E. Dado a, com a ∈ E, chama-se classe de equivalˆ encia determinada por a, m´odulo R(ou segundo R), o subconjunto a
¯ ⊂ E constituido pelos elementos x tais que xRa: a ¯ = {x ∈ E | xRa}
Ou seja, a
¯ ´e um subconjunto de E onde nele est´a contido todos os elementos x que tem uma rela¸c˜ao de equivalˆencia R com o elemento a.
Propriedade 1 Em cada subconjunto a
¯ ⊂ E, todos os seus elementos s˜ao equevalentes entre s´ı.
Propriedade 2 Se xRy ⇒ x¯ = y¯;
Propriedade 3 Dado a
¯ e ¯b classes de equivalˆencia, Se a
¯ = ¯b ⇒ a
¯

¯b = ∅;

Propriedade 4 A uni˜ao de todas as classes de equivaˆencia de um conjunto
´e igual ao pr´oprio conjunto: X