CIRCUNFERÊNCIA, CÔNICAS E GEOMETRIA ANALÍTICA.

Páginas: 11 (2554 palavras) Publicado: 15 de maio de 2014
CIRCUNFERÊNCIA, CÔNICAS E GEOMETRIA ANALÍTICA. Neste artigo abordaremos a definição e as equações analíticas da circunferência, da elipse e da hipérbole, bem como algumas aplicações dos mesmos em exercícios. 1.0 DEFINIÇÃO GERAL. Em geometria, as cônicas são as curvas geradas na intersecção de um plano que atravessa um cone (daí o nome). Numa superfície em forma de cone, existem quatro tipos deintersecção que podem ser obtidos por esse processo e que resultam na: 1) Elipse: a cônica obtida através da interseção de um plano que atravessa a superfície de um cone obliquamente à base do mesmo; 2) Parábola: é a cônica também definida na intersecção de um plano que penetra a superfície de um cone e também a circunferência da base; 3) Hipérbole: é a cônica definida na interseção de um planoque penetra um cone paralelo ao seu eixo; 4) Circunferência, que é obtida através da intersecção de um plano que seja paralelo à base do cone. fig.01: as cônicas; em A temos a parábola, em B na parte de baixo temos a circunferência e na parte de cima a elipse e em C temos a hipérbole. Fonte: wikipédia. 2.0 A CIRCUNFERÊNCIA. 2.1 DEFINIÇÃO E EQUAÇÕES. Geometricamente, a circunferência é o conjuntode todos os pontos que estão a uma igual distância de um ponto central, sendo que essa distância é chamada de raio, que aqui designaremos pela letra 'r'; analiticamente falando, a circunferência é o lugar geométrico dos pontos que tem distância fixa de um determinado ponto P: Sendo assim, se considerarmos um plano xOy, e um ponto C (Xo, Yo) que será o centro da circunferência, basta considerarmosum ponto genérico P (X, Y) e usarmos a definição dada para encontrarmos a equação analítica da circunferência: Elevando ambos os membros ao quadrado, temos: (*) A equação encontrada em (*) é a chamada equação reduzida da circunferência. Se resolvermos os quadrados dos binômios e passarmos 'r' para o segundo membro, teremos: (**) Essa equação encontrada em (**) é a conhecida como equação geral dacircunferência. Feita essa definição, vamos fazer agora uma revisão útil para solucionarmos determinados problemas envolvendo circunferências. 2.2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA 2.2.1 INTERNO OU INTERIOR Significa que a distância do ponto considerado até o centro da circunferência é menor que o raio dessa circunferência, ou seja, se A(X1, Y1) é um ponto interno dacircunferência, e C(Xo, Yo) é o centro dessa circunferência, temos que: 2.2.2 EXTERNO OU EXTERIOR Significa que a distância entre o ponto considerado até o centro da circunferência é maior que o raio dessa circunferência, e, do mesmo modo, se A(X1, Y1) é o ponto considerado e C(Xo, Yo) é o centro dessa circunferência: 2.2.3 PERTENCENTE À CIRCUNFERÊNCIA É quando o ponto fica exatamente sobre acircunferência, ou seja, a sua distância até o centro é igual ao raio dessa circunferência; sendo assim, se A(X1, Y1) é o ponto considerado e C(Xo, Yo) é o centro dessa circunferência: Abaixo temos um esquema das três situações colocadas acima esboçadas em um gráfico: fig. 02: o ponto vermelho é um ponto exterior, o ponto azul é um ponto interior e o ponto verde é um ponto pertencente à circunferência 2.3RETAS E CIRCUNFERÊNCIA Iremos ver agora as posições relativas entre uma reta e uma circunferência, lembrando que a distância entre uma reta de equação AX + BY + C = 0 e um ponto P(Xo, Yo) é dada por: 2.3.1 EXTERNA É a reta que não cruza com a circunferência em nenhum ponto, ou seja, ela não tem pontos em comum com a circunferência; sendo assim, a distância dessa reta até a circunferência, em outraspalavras, se 'd' é a distância do centro dessa circunferência até a reta dada e 'r' é seu raio, temos que: d > r 2.3.2 SECANTE É a reta que cruza, secciona a circunferência, sendo assim, a reta secante tem dois pontos em comum com a circunferência, portanto, a distância do seu centro até a reta tem que ser menor que seu raio: d < r Obs: da geometria plana, a reta suporte que contém o raio da...
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